Kvadratets areal: side, omkreds og diagonal

Kvadratets areal måler det plane område inden for de fire sider. Et kvadrat har lige lange sider og fire rette vinkler. Da grundlinje og højde begge er a, er arealet a gange a.

Hvorfor kvadreres siden?

Et rektangels areal er grundlinjen gange den vinkelrette højde. I et kvadrat er begge lig sidelængden:

Med siden 10 cm dækkes figuren af ti rækker med ti enhedskvadrater i hver. Det giver 100 i alt:

Resultatet er 100 kvadratcentimeter, ikke længden 100 cm. To længder i centimeter ganget sammen giver en arealenhed.

Areal og omkreds måler forskellige ting

Omkredsen er strækningen langs kanten. Læg de fire sider sammen eller gang én side med fire. Et kvadrat med siden 5 cm har omkredsen 20 cm:

Dets areal er 25 kvadratcentimeter. En ramme omkring kvadratet handler om omkreds; at dække det indre handler om areal. Vælg formlen efter den størrelse, der spørges efter.

Beregn diagonalen

En diagonal forbinder modstående hjørner og deler kvadratet i to kongruente retvinklede trekanter med kateter a. Pythagoras knytter diagonalen d til siden:

Ved siden 10 cm er diagonalen præcis ti gange kvadratroden af to centimeter, cirka 14,14 cm. Den skal være længere end siden, men kortere end to sider tilsammen. Det hjælper med at opdage fejl.

Areal når kun diagonalen kendes

Efter omskrivning er arealet halvdelen af diagonalens kvadrat. Kendes arealet, giver dets positive kvadratrod sidelængden:

Find arealet ud fra en diagonal på 10 cm

Et kvadrat har diagonalen 10 cm. Vi søger arealet og derefter siden. Denne gang er 10 cm ikke en sidelængde.

1. Kvadrér diagonalen. Mellemresultatet er endnu ikke kvadratets areal.

   $$d^2={10}^2=100{\text{cm}}^2$$

2. Dividér med to ved hjælp af sammenhængen fra Pythagoras. Arealet bliver 50 kvadratcentimeter.

   $$A=\frac{100}{2}=50{\text{cm}}^2$$

3. Tag den positive kvadratrod af arealet for at få siden. Forenkl rodudtrykket før afrunding.

   $$a=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx \mathrm{7,07}\text{cm}$$

Siden er cirka 7,07 cm og dermed kortere end diagonalen på 10 cm. At bruge 10 cm som side ville fejlagtigt give 100 kvadratcentimeter.

En diagonal på 10 cm giver 50 kvadratcentimeter. En side på 10 cm giver derimod 100 kvadratcentimeter. Fastslå, hvilken længde der er oplyst, før du indsætter den.

Omregn enheder før kvadrering

En side på 50 cm er 0,5 m. Arealet er 2.500 kvadratcentimeter eller 0,25 kvadratmeter. At omregne siden først forhindrer, at en længdefaktor bruges direkte på et areal. En kvadratmeter indeholder 10.000 kvadratcentimeter.

En fordoblet side fordobler omkredsen, men firedobler arealet. Formlerne kræver et kvadrat: Fire lige sider kan også danne en rombe, hvis areal afhænger af formen. Hver flade på en terning er et kvadrat, så samme areal tælles seks gange for hele overfladen.