Pole kwadratu: bok, obwód i przekątna

Pole kwadratu mierzy płaski obszar wewnątrz czterech boków. Kwadrat ma równe boki i cztery kąty proste. Ponieważ podstawa i wysokość mają tę samą długość a, pole jest iloczynem a przez a.

Dlaczego podnosimy bok do kwadratu?

Pole prostokąta jest iloczynem podstawy i prostopadłej wysokości. W kwadracie obie długości są równe bokowi:

Przy boku 10 cm figurę pokrywa dziesięć rzędów po dziesięć kwadratów jednostkowych, czyli łącznie 100:

Wynik to 100 centymetrów kwadratowych, nie długość 100 cm. Pomnożenie dwóch długości w centymetrach daje jednostkę pola.

Pole i obwód opisują coś innego

Obwód mierzy długość brzegu figury. Dodaj cztery boki lub pomnóż jeden przez cztery. Kwadrat o boku 5 cm ma obwód 20 cm:

Jego pole wynosi 25 centymetrów kwadratowych. Ramka wokół kwadratu dotyczy obwodu, a pokrycie wnętrza pola. Wybierz wzór według szukanej wielkości.

Jak obliczyć przekątną?

Przekątna łączy przeciwległe wierzchołki. Dzieli kwadrat na dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych a. Pitagoras łączy przekątną d z bokiem:

Dla boku 10 cm przekątna ma dokładnie dziesięć pierwiastków z dwóch centymetrów, około 14,14 cm. Musi być dłuższa od boku, ale krótsza od sumy dwóch boków. Taka kontrola pomaga wykryć błąd.

Pole, gdy znamy tylko przekątną

Po przekształceniu zależności pole jest połową kwadratu przekątnej. Jeśli znamy pole, jego dodatni pierwiastek daje długość boku:

Wyznaczanie pola z przekątnej długości 10 cm

Kwadrat ma przekątną 10 cm. Szukamy pola, a potem boku. Tym razem 10 cm nie jest długością boku.

1. Podnieś przekątną do kwadratu. Ta wartość pośrednia nie jest jeszcze polem kwadratu.

   $$d^2={10}^2=100{\text{cm}}^2$$

2. Podziel przez dwa, wykorzystując zależność z twierdzenia Pitagorasa. Otrzymane pole wynosi 50 centymetrów kwadratowych.

   $$A=\frac{100}{2}=50{\text{cm}}^2$$

3. Oblicz dodatni pierwiastek kwadratowy z pola, aby otrzymać bok. Uprość pierwiastek przed zaokrągleniem.

   $$a=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx \mathrm{7,07}\text{cm}$$

Bok ma około 7,07 cm, czyli mniej niż przekątna 10 cm. Potraktowanie 10 cm jako boku dałoby błędne pole 100 centymetrów kwadratowych.

Przekątna 10 cm oznacza pole 50 centymetrów kwadratowych. Bok 10 cm oznacza natomiast 100 centymetrów kwadratowych. Ustal, którą długość podano, zanim wstawisz liczbę do wzoru.

Zamiana jednostek przed obliczeniem

Bok 50 cm to 0,5 m. Pole wynosi 2 500 centymetrów kwadratowych albo 0,25 metra kwadratowego. Przeliczenie boku najpierw zapobiega zastosowaniu liniowego przelicznika bezpośrednio do pola. Metr kwadratowy zawiera 10 000 centymetrów kwadratowych.

Podwojenie boku podwaja obwód, ale zwiększa pole czterokrotnie. Wzory zakładają kwadrat: cztery równe boki mogą także tworzyć romb, którego pole zależy od kształtu. Każda ściana sześcianu jest kwadratem, więc przy polu całkowitym liczymy tę samą wartość sześć razy.