Der Flächeninhalt eines Quadrats misst den ebenen Bereich innerhalb seiner vier Seiten. Ein Quadrat besitzt vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Da Grundseite und Höhe beide a lang sind, ist die Fläche a mal a.
Warum wird die Seitenlänge quadriert?
Beim Rechteck ist die Fläche Grundseite mal senkrechter Höhe. Im Quadrat sind beide gleich der Seitenlänge:
Ein Quadrat mit 10 cm Seitenlänge lässt sich mit zehn Reihen aus je zehn Einheitsquadraten bedecken. Insgesamt sind das 100 Quadrate:
Das Ergebnis sind 100 Quadratzentimeter, keine Länge von 100 cm. Zwei Zentimetermaße zu multiplizieren erzeugt eine Flächeneinheit.
Fläche und Umfang unterscheiden
Der Umfang misst den Weg um die Begrenzung. Addiere die vier Seiten oder multipliziere eine Seite mit vier. Ein Quadrat mit 5 cm Seitenlänge hat 20 cm Umfang:
Seine Fläche beträgt 25 Quadratzentimeter. Ein Rahmen um das Quadrat betrifft den Umfang, das Bedecken der Innenseite die Fläche. Entscheide zuerst, welche Größe gesucht ist.
Die Diagonale berechnen
Eine Diagonale verbindet gegenüberliegende Ecken. Sie teilt das Quadrat in zwei deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke mit Kathetenlänge a. Pythagoras verknüpft die Diagonale d mit der Seite:
Bei 10 cm Seitenlänge beträgt die Diagonale exakt zehnmal die Wurzel aus zwei Zentimeter, ungefähr 14,14 cm. Sie ist länger als eine Seite, aber kürzer als zwei Seiten zusammen. Diese Abschätzung hilft bei der Kontrolle.
Fläche aus einer gegebenen Diagonale
Nach Umstellen der Beziehung ist die Fläche halb so groß wie das Quadrat der Diagonale. Ist die Fläche gegeben, liefert ihre positive Quadratwurzel die Seitenlänge:
Die Quadratfläche aus einer 10 cm langen Diagonale finden
Ein Quadrat hat eine Diagonale von 10 cm. Gesucht sind Fläche und anschließend Seitenlänge. Die 10 cm sind diesmal keine Seitenlänge.
Quadriere die Diagonale. Dieser Zwischenwert ist noch nicht die Quadratfläche.
Teile durch zwei und nutze damit die aus Pythagoras abgeleitete Beziehung. Die Fläche beträgt 50 Quadratzentimeter.
Ziehe die positive Quadratwurzel der Fläche, um die Seite zu erhalten. Vereinfache die Wurzel vor dem Runden.
Die Seite ist ungefähr 7,07 cm lang und damit kürzer als die 10 cm lange Diagonale. 10 cm als Seite einzusetzen hätte fälschlich 100 Quadratzentimeter ergeben.
Eine Diagonale von 10 cm bedeutet 50 Quadratzentimeter Fläche. Eine Seite von 10 cm bedeutet dagegen 100 Quadratzentimeter. Beschrifte die gegebene Strecke, bevor du sie einsetzt.
Einheiten vor dem Quadrieren umrechnen
Eine Seite von 50 cm entspricht 0,5 m. Die Fläche beträgt 2.500 Quadratzentimeter oder 0,25 Quadratmeter. Rechne am besten die Seitenlänge zuerst um, damit du nicht einen Längenfaktor direkt auf eine Fläche anwendest. Ein Quadratmeter enthält 10.000 Quadratzentimeter.
Eine doppelte Seite verdoppelt den Umfang, vervierfacht aber die Fläche. Die Formeln setzen ein Quadrat voraus: Vier gleich lange Seiten können auch eine Raute bilden, deren Fläche von der Form abhängt. Jede Fläche eines Würfels ist ein Quadrat und wird für die gesamte Oberfläche sechsmal gezählt.
