Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind parallel, gegenüberliegende Winkel gleich groß. Für den Flächeninhalt brauchst du entweder beide Diagonalen oder eine Grundseite mit ihrer senkrechten Höhe. Die Seitenlänge allein genügt nicht.
Die Fläche aus den Diagonalen berechnen
Multipliziere die Diagonalenlängen D und d und halbiere das Produkt. Mit Grundseite b und zugehöriger Höhe h erhältst du dieselbe Fläche:
Verwende dieselbe Längeneinheit für beide Diagonalen. Das Ergebnis hat die entsprechende Quadrateinheit. Die Buchstaben kennzeichnen die Diagonalen; die Formel gilt auch bei gleich langen Diagonalen.
Beispiel mit 10 cm und 6 cm Diagonalenlänge
Das Produkt der Diagonalen beträgt 60 Quadratzentimeter. Seine Hälfte ergibt:
Mit 10 cm und 6 cm Diagonalenlänge Schritt für Schritt rechnen
Eine Raute hat vollständige Diagonalen von 10 cm und 6 cm. Gesucht ist ihre Fläche. In die Diagonalenformel kommen die ganzen Längen, nicht ihre Hälften.
Setze beide Diagonalenlängen ein und behalte die Division durch zwei bei.
Multipliziere 10 mit 6 und halbiere das Produkt. Die Fläche wird in Quadratzentimetern angegeben.
Prüfe die Geometrie: Die halben Diagonalen messen 5 cm und 3 cm. Jedes der vier rechtwinkligen Dreiecke hat 7,5 Quadratzentimeter Fläche.
Die vier Dreiecke ergeben zusammen 30 Quadratzentimeter, passend zur Diagonalenformel. Ohne Halbierung wäre die Fläche doppelt so groß wie richtig.
Vergiss das Halbieren nicht. Eine Raute mit Ecken in den Seitenmitten eines Rechtecks nimmt genau dessen halbe Fläche ein. Die Rechteckseiten sind dabei so lang wie die Rautendiagonalen.
Herleitung mit vier Dreiecken
Die Diagonalen einer Raute halbieren sich rechtwinklig. Dadurch entstehen vier rechtwinklige Dreiecke mit den halben Diagonalen als Katheten. Jede Dreiecksfläche ist das halbe Produkt dieser Katheten. Die Summe der vier Flächen ergibt das halbe Produkt der vollständigen Diagonalen.
Alternativ teilt eine Diagonale die Raute in zwei deckungsgleiche Dreiecke. Nutzt du sie als gemeinsame Grundseite, ergeben die beiden Höhen zusammen die andere Diagonale.
Darf man einfach die Seitenlänge quadrieren?
Nur beim Quadrat. In einer schrägen Raute ist die senkrechte Höhe kürzer als die Seite. Die Parallelogrammformel verwendet Grundseite mal Höhe, nicht Grundseite mal schräger Nachbarseite. Rauten mit denselben Seitenlängen können deshalb unterschiedliche Flächen haben.
Sind beide Diagonalen bekannt, bilden ihre Hälften mit einer Seite ein rechtwinkliges Dreieck. Daraus lassen sich Seite und Umfang bestimmen:
Bei Diagonalen von 10 cm und 6 cm beträgt das Quadrat der Seite 34 Quadratzentimeter. Das ist nicht der Flächeninhalt von 30 Quadratzentimetern.
Ist ein Quadrat ebenfalls eine Raute?
Ja. Es hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Seine Diagonalen sind gleich lang, anders als bei einer Raute, die kein Quadrat ist. Bei jeder Raute halbieren die Diagonalen auch die Winkel an den Ecken. Ein Inkreis berührt alle vier Seiten, und benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180°. Siehe auch Fläche und Diagonale des Quadrats.
