Oppervlakte van een ruit: diagonalen, hoogte en eigenschappen

Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden. Overstaande zijden zijn evenwijdig en overstaande hoeken even groot. Voor de oppervlakte gebruik je beide diagonalen of een basis met bijbehorende loodrechte hoogte. Alleen de zijlengte is niet genoeg.

Oppervlakte berekenen met de diagonalen

Vermenigvuldig de lengtes van diagonalen D en d en deel door twee. Met basis b en hoogte h krijg je dezelfde oppervlakte:

Gebruik voor beide diagonalen dezelfde eenheid. De uitkomst heeft de bijbehorende vierkante eenheid. De letters benoemen de diagonalen; de formule blijft geldig als die even lang zijn.

Voorbeeld met diagonalen van 10 cm en 6 cm

Het product is 60 vierkante centimeter. De helft daarvan is:

Diagonalen van 10 cm en 6 cm stap voor stap gebruiken

We zoeken de oppervlakte van een ruit met volledige diagonalen van 10 cm en 6 cm. De formule gebruikt deze hele lengtes, niet hun helften.

1. Vul beide diagonalen in en behoud de deling door twee.

   $$A=\frac{10\times 6}{2}$$

2. Vermenigvuldig 10 met 6 en halveer het product. Het resultaat heeft vierkante centimeters als eenheid.

   $$A=\frac{60}{2}=30{\text{cm}}^2$$

3. Controleer geometrisch: de halve diagonalen zijn 5 cm en 3 cm. Elk van de vier rechthoekige driehoeken heeft een oppervlakte van 7,5 vierkante centimeter.

   $$A_1=\frac{5\times 3}{2}=\mathrm{7,50}{\text{cm}}^2$$
   $$A=4\times \mathrm{7,50}=30{\text{cm}}^2$$

De vier driehoeken vormen samen 30 vierkante centimeter, gelijk aan de diagonalenformule. Zonder halveren krijg je tweemaal de juiste oppervlakte.

Vergeet niet te halveren. Een ruit met hoekpunten in de zijmiddens van een rechthoek beslaat de helft van zijn oppervlakte. De rechthoekszijden zijn dan even lang als de ruitdiagonalen.

De formule afleiden met vier driehoeken

De diagonalen halveren elkaar en staan loodrecht op elkaar. Ze maken vier rechthoekige driehoeken met halve diagonalen als rechthoekszijden. Iedere driehoek heeft als oppervlakte de helft van het product van die zijden. De vier oppervlakten samen geven de helft van het product van de volledige diagonalen.

Je kunt ook één diagonaal als basis van twee congruente driehoeken nemen. De twee hoogtes vormen samen de andere diagonaal en leiden tot dezelfde formule.

Kun je de zijlengte kwadrateren?

Alleen als de ruit een vierkant is. Bij een schuine ruit is de loodrechte hoogte korter dan de zijde. De parallellogramformule gebruikt basis maal hoogte, niet basis maal de schuine buurzijde. Ruiten met dezelfde zijlengtes kunnen dus verschillende oppervlakten hebben.

De halve diagonalen vormen met een zijde een rechthoekige driehoek. Met beide diagonalen kun je via Pythagoras de zijde en daarna de omtrek vinden:

Bij diagonalen van 10 cm en 6 cm is het kwadraat van de zijde 34 vierkante centimeter, niet de oppervlakte van 30 vierkante centimeter.

Is een vierkant ook een ruit?

Ja. Een vierkant heeft vier gelijke zijden en vier rechte hoeken. Zijn diagonalen zijn even lang, anders dan bij een niet-vierkante ruit. Bij iedere ruit halveren de diagonalen ook de hoeken, bestaat een ingeschreven cirkel die alle vier zijden raakt en vormen buurhoeken samen 180°. Zie oppervlakte en diagonaal van een vierkant.