Vinoneliön pinta-ala: lävistäjät, korkeus ja ominaisuudet

Vinoneliö on nelikulmio, jonka kaikki neljä sivua ovat yhtä pitkät. Vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja vastakkaiset kulmat yhtä suuret. Pinta-ala lasketaan molemmista lävistäjistä tai kannasta ja kohtisuorasta korkeudesta. Pelkkä sivun pituus ei riitä.

Pinta-ala lävistäjien avulla

Kerro lävistäjien D ja d pituudet ja jaa kahdella. Kanta b ja siihen liittyvä korkeus h antavat saman pinta-alan:

Käytä molemmissa lävistäjissä samaa pituusyksikköä. Tulos on vastaavassa neliöyksikössä. Kirjaimet nimeävät lävistäjät; kaava pätee myös silloin, kun ne ovat yhtä pitkät.

Esimerkki: lävistäjät 10 cm ja 6 cm

Tulo on 60 neliösenttimetriä. Sen puolikas on:

Lävistäjien 10 cm ja 6 cm käyttäminen ilman välivaiheiden ohittamista

Etsimme vinoneliön pinta-alaa, kun kokonaiset lävistäjät ovat 10 cm ja 6 cm. Kaava käyttää näitä kokonaisia pituuksia, ei niiden puolikkaita.

1. Sijoita molempien lävistäjien pituudet ja säilytä jako kahdella.

   $$A=\frac{10\times 6}{2}$$

2. Kerro 10 luvulla 6 ja puolita tulo. Vastaus saa yksiköksi neliösenttimetrin.

   $$A=\frac{60}{2}=30{\text{cm}}^2$$

3. Tarkista geometrian avulla: lävistäjien puolikkaat ovat 5 cm ja 3 cm. Jokaisen neljän suorakulmaisen kolmion ala on 7,5 neliösenttimetriä.

   $$A_1=\frac{5\times 3}{2}=\mathrm{7,50}{\text{cm}}^2$$
   $$A=4\times \mathrm{7,50}=30{\text{cm}}^2$$

Neljä alaa ovat yhteensä 30 neliösenttimetriä, kuten lävistäjäkaavassa. Jakamisen unohtaminen tuottaisi kaksinkertaisen pinta-alan.

Muista jako kahdella. Vinoneliö, jonka kärjet ovat suorakulmion sivujen keskipisteissä, peittää puolet suorakulmiosta. Suorakulmion sivut ovat tällöin vinoneliön lävistäjien pituiset.

Perustelu neljän kolmion avulla

Lävistäjät puolittavat toisensa kohtisuorasti. Syntyy neljä suorakulmaista kolmiota, joiden kateetit ovat lävistäjien puolikkaat. Kunkin kolmion ala on puolet kateettien tulosta. Neljän alan summa on puolet kokonaisten lävistäjien tulosta.

Vaihtoehtoisesti yksi lävistäjä on kahden yhtenevän kolmion yhteinen kanta. Niiden korkeudet muodostavat yhdessä toisen lävistäjän ja antavat saman kaavan.

Voiko sivun vain korottaa toiseen potenssiin?

Vain silloin, kun vinoneliö on myös neliö. Vinossa kuviossa kohtisuora korkeus on sivua lyhyempi. Suunnikkaan kaava käyttää kantaa ja korkeutta, ei vinoa viereistä sivua. Samansivuisilla vinoneliöillä voi siten olla eri pinta-alat.

Lävistäjien puolikkaat ja sivu muodostavat suorakulmaisen kolmion. Kun molemmat lävistäjät tunnetaan, Pythagoraan lause antaa sivun ja sitten piirin:

Lävistäjillä 10 cm ja 6 cm sivun neliö on 34 neliösenttimetriä, ei pinta-alan 30 neliösenttimetriä.

Onko neliö myös vinoneliö?

Kyllä. Sillä on neljä yhtä pitkää sivua ja neljä suoraa kulmaa. Sen lävistäjät ovat yhtä pitkät, toisin kuin vinoneliössä, joka ei ole neliö. Kaikissa vinoneliöissä lävistäjät puolittavat myös kärjen kulmat. Sisään piirretty ympyrä sivuaa kaikkia neljää sivua, ja vierekkäiset kulmat ovat yhteensä 180°. Katso neliön pinta-ala ja lävistäjä.