Rombens areal: diagonaler, højde og egenskaber

En rombe er en firkant med fire lige lange sider. Modstående sider er parallelle og modstående vinkler lige store. Arealet findes med begge diagonaler eller en grundlinje og dens vinkelrette højde. Sidelængden alene er ikke nok.

Areal ud fra diagonalernes længder

Gang diagonalerne D og d og dividér med to. Med grundlinjen b og den tilhørende højde h giver produktet samme areal:

Brug samme længdeenhed til begge diagonaler. Resultatet får den tilsvarende kvadratenhed. Bogstaverne navngiver diagonalerne; formlen virker også, hvis de er lige lange.

Eksempel med diagonalerne 10 cm og 6 cm

Produktet er 60 kvadratcentimeter. Halvdelen bliver:

Brug diagonalerne 10 cm og 6 cm trin for trin

Vi søger arealet af en rombe med hele diagonaler på 10 cm og 6 cm. Formlen bruger de fulde længder, ikke deres halvdele.

1. Indsæt begge diagonallængder, og behold divisionen med to.

   $$A=\frac{10\times 6}{2}$$

2. Gang 10 med 6 og halvér produktet. Resultatet får enheden kvadratcentimeter.

   $$A=\frac{60}{2}=30{\text{cm}}^2$$

3. Kontrollér geometrisk: De halve diagonaler er 5 cm og 3 cm. Hver af de fire retvinklede trekanter har arealet 7,5 kvadratcentimeter.

   $$A_1=\frac{5\times 3}{2}=\mathrm{7,50}{\text{cm}}^2$$
   $$A=4\times \mathrm{7,50}=30{\text{cm}}^2$$

De fire arealer giver tilsammen 30 kvadratcentimeter, som i diagonalformlen. Uden division med to ville resultatet blive dobbelt så stort.

Glem ikke at dividere med to. En rombe med hjørner i midtpunkterne på et rektangels sider fylder halvdelen af rektanglet. Rektanglets sidelængder er da lig rombens diagonaler.

Udledning med fire trekanter

Diagonalerne halverer hinanden vinkelret. De danner fire retvinklede trekanter med halve diagonaler som kateter. Hver trekants areal er halvdelen af kateternes produkt. Summen af de fire arealer bliver halvdelen af de hele diagonalers produkt.

Alternativt kan én diagonal bruges som fælles grundlinje for to kongruente trekanter. Deres højder giver tilsammen den anden diagonal og fører til samme formel.

Kan man kvadrere sidelængden?

Kun hvis romben er et kvadrat. I en skrå rombe er den vinkelrette højde kortere end siden. Parallelogramformlen bruger grundlinje gange højde, ikke den skrå naboside. Romber med samme sidelængder kan derfor have forskellige arealer.

De halve diagonaler danner sammen med en side en retvinklet trekant. Når begge diagonaler kendes, kan Pythagoras give siden og derefter omkredsen:

Ved diagonaler på 10 cm og 6 cm er sidens kvadrat 34 kvadratcentimeter, ikke arealet på 30 kvadratcentimeter.

Er et kvadrat også en rombe?

Ja. Det har fire lige sider og fire rette vinkler. Diagonalerne er lige lange, i modsætning til en rombe, som ikke er et kvadrat. I enhver rombe halverer diagonalerne også hjørnevinklerne. En indskreven cirkel rører alle fire sider, og nabovinkler giver 180°. Se kvadratets areal og diagonal.