Pole rombu: przekątne, wysokość i własności

Romb to czworokąt o czterech równych bokach. Jego przeciwległe boki są równoległe, a przeciwległe kąty równe. Pole wyznaczamy z obu przekątnych lub z podstawy i prostopadłej wysokości. Sama długość boku nie wystarcza.

Pole z długości przekątnych

Pomnóż długości przekątnych D i d i podziel przez dwa. Dla podstawy b i odpowiadającej jej wysokości h iloczyn daje to samo pole:

Podaj przekątne w tej samej jednostce. Wynik otrzymasz w odpowiadającej jednostce kwadratowej. Litery jedynie oznaczają przekątne; wzór działa także wtedy, gdy mają równe długości.

Przykład: przekątne 10 cm i 6 cm

Ich iloczyn to 60 centymetrów kwadratowych. Po podzieleniu przez dwa:

Przekątne 10 cm i 6 cm: obliczenie bez pomijania kroków

Szukamy pola rombu o pełnych przekątnych 10 cm i 6 cm. Wzór wykorzystuje całe długości, a nie ich połówki.

1. Podstaw obie przekątne i pozostaw dzielenie przez dwa.

   $$A=\frac{10\times 6}{2}$$

2. Pomnóż 10 przez 6, a następnie podziel iloczyn przez dwa. Wynik ma jednostkę centymetrów kwadratowych.

   $$A=\frac{60}{2}=30{\text{cm}}^2$$

3. Sprawdź geometrycznie: połówki przekątnych mają 5 cm i 3 cm. Każdy z czterech trójkątów prostokątnych ma pole 7,5 centymetra kwadratowego.

   $$A_1=\frac{5\times 3}{2}=\mathrm{7,50}{\text{cm}}^2$$
   $$A=4\times \mathrm{7,50}=30{\text{cm}}^2$$

Cztery pola sumują się do 30 centymetrów kwadratowych, zgodnie ze wzorem z przekątnymi. Pominięcie dzielenia przez dwa dałoby dwukrotnie zawyżone pole.

Nie pomijaj dzielenia. Romb z wierzchołkami w środkach boków prostokąta zajmuje połowę jego pola; boki prostokąta mają długości przekątnych rombu.

Uzasadnienie przez cztery trójkąty

Przekątne rombu dzielą się na połowy i przecinają pod kątem prostym. Powstają cztery trójkąty prostokątne z połówkami przekątnych jako przyprostokątnymi. Pole każdego jest połową iloczynu tych przyprostokątnych. Suma czterech pól daje połowę iloczynu całych przekątnych.

Można też użyć jednej przekątnej jako wspólnej podstawy dwóch przystających trójkątów. Suma ich wysokości jest drugą przekątną i prowadzi do tego samego wzoru.

Czy wystarczy podnieść bok do kwadratu?

Tylko wtedy, gdy romb jest kwadratem. W pochylonym rombie wysokość jest krótsza od boku. Wzór równoległoboku wykorzystuje podstawę i prostopadłą wysokość, nie ukośny bok sąsiedni. Romby o równych bokach mogą więc mieć różne pola.

Połówki przekątnych wraz z bokiem tworzą trójkąt prostokątny. Znając obie przekątne, można obliczyć bok i obwód:

Dla przekątnych 10 cm i 6 cm kwadrat boku wynosi 34 centymetry kwadratowe, a nie 30 centymetrów kwadratowych pola.

Czy kwadrat jest rombem?

Tak: ma cztery równe boki i cztery kąty proste. Jego przekątne są równe, inaczej niż w rombie niebędącym kwadratem. W każdym rombie przekątne dzielą także kąty przy wierzchołkach na połowy. Istnieje okrąg wpisany styczny do czterech boków, a kąty przy sąsiednich wierzchołkach sumują się do 180°. Zobacz pole i przekątną kwadratu.