Rombens areal: diagonaler, høyde og egenskaper

En rombe er en firkant med fire like lange sider. Motstående sider er parallelle og motstående vinkler like store. Arealet finnes med begge diagonalene eller med grunnlinjen og dens vinkelrette høyde. Sidelengden alene er ikke nok.

Areal fra diagonalene

Multipliser diagonalene D og d og del på to. Med grunnlinje b og tilhørende høyde h gir produktet samme areal:

Bruk samme lengdeenhet for begge diagonalene. Resultatet får den tilsvarende kvadratenheten. Bokstavene navngir diagonalene; formelen gjelder også når de er like lange.

Eksempel med diagonaler 10 cm og 6 cm

Produktet er 60 kvadratcentimeter. Halvparten blir:

Bruk diagonalene 10 cm og 6 cm trinn for trinn

Vi søker arealet av en rombe med hele diagonaler på 10 cm og 6 cm. Formelen bruker de fulle lengdene, ikke halvpartene.

1. Sett inn begge diagonallengdene og behold delingen på to.

   $$A=\frac{10\times 6}{2}$$

2. Multipliser 10 med 6 og halver produktet. Svaret får enheten kvadratcentimeter.

   $$A=\frac{60}{2}=30{\text{cm}}^2$$

3. Kontroller geometrisk: De halve diagonalene er 5 cm og 3 cm. Hver av de fire rettvinklede trekantene har arealet 7,5 kvadratcentimeter.

   $$A_1=\frac{5\times 3}{2}=\mathrm{7,50}{\text{cm}}^2$$
   $$A=4\times \mathrm{7,50}=30{\text{cm}}^2$$

De fire arealene gir til sammen 30 kvadratcentimeter, som i diagonalformelen. Uten delingen på to ville resultatet blitt dobbelt så stort.

Ikke glem å dele på to. En rombe med hjørnene i midtpunktene på et rektangels sider dekker halvparten av rektangelet. Rektangelets sider har da samme lengde som rombens diagonaler.

Utledning med fire trekanter

Diagonalene halverer hverandre og står vinkelrett. De lager fire rettvinklede trekanter med halve diagonaler som kateter. Hver trekants areal er halvparten av katetenes produkt. Summen av fire slike arealer gir halvparten av de hele diagonalenes produkt.

Alternativt kan én diagonal være felles grunnlinje for to kongruente trekanter. Høydene deres blir til sammen den andre diagonalen og gir samme formel.

Kan sidelengden kvadreres?

Bare hvis romben er et kvadrat. I en skrå rombe er den vinkelrette høyden kortere enn siden. Parallellogramformelen bruker grunnlinje ganger høyde, ikke den skrå nabosiden. Romber med samme sidelengder kan derfor ha ulike arealer.

De halve diagonalene danner sammen med en side en rettvinklet trekant. Når begge diagonalene er kjent, kan Pytagoras gi siden og deretter omkretsen:

Ved diagonaler på 10 cm og 6 cm er sidens kvadrat 34 kvadratcentimeter, ikke arealet på 30 kvadratcentimeter.

Er et kvadrat også en rombe?

Ja. Det har fire like sider og fire rette vinkler. Diagonalene er like lange, i motsetning til en rombe som ikke er et kvadrat. I alle romber halverer diagonalene også hjørnevinklene. En innskrevet sirkel berører alle fire sider, og nabovinkler gir 180°. Se kvadratets areal og diagonal.