Rombens area: diagonaler, höjd och egenskaper

En romb är en fyrhörning med fyra lika långa sidor. Motstående sidor är parallella och motstående vinklar lika stora. Arean beräknas med båda diagonalerna eller med en bas och dess vinkelräta höjd. Enbart sidlängden räcker inte.

Area från diagonalernas längder

Multiplicera diagonalerna D och d och dela med två. Om basen b och den tillhörande höjden h är kända ger deras produkt samma area:

Använd samma längdenhet för båda diagonalerna. Svaret får motsvarande kvadratenhet. Bokstäverna namnger diagonalerna; formeln gäller även om de är lika långa.

Exempel med diagonalerna 10 cm och 6 cm

Produkten är 60 kvadratcentimeter. Hälften av produkten blir:

Använd diagonalerna 10 cm och 6 cm steg för steg

Vi söker arean av en romb med hela diagonaler på 10 cm och 6 cm. Formeln använder hela längderna, inte deras halvor.

1. Sätt in båda diagonallängderna och behåll divisionen med två.

   $$A=\frac{10\times 6}{2}$$

2. Multiplicera 10 med 6 och halvera produkten. Svaret får enheten kvadratcentimeter.

   $$A=\frac{60}{2}=30{\text{cm}}^2$$

3. Kontrollera geometriskt: halva diagonalerna är 5 cm och 3 cm. Var och en av de fyra rätvinkliga trianglarna har arean 7,5 kvadratcentimeter.

   $$A_1=\frac{5\times 3}{2}=\mathrm{7,50}{\text{cm}}^2$$
   $$A=4\times \mathrm{7,50}=30{\text{cm}}^2$$

De fyra areorna blir tillsammans 30 kvadratcentimeter, som med diagonalformeln. Utan divisionen med två skulle du få dubbelt så stor area.

Glöm inte att dela med två. En romb med hörn i mittpunkterna på en rektangels sidor upptar halva rektangelns area. Rektangelns sidor är då lika långa som rombens diagonaler.

Härledning med fyra trianglar

Diagonalerna delar varandra mitt itu och är vinkelräta. De bildar fyra rätvinkliga trianglar vars kateter är halva diagonalerna. Varje triangel har arean halva produkten av dessa kateter. Summan av fyra sådana areor ger halva produkten av de hela diagonalerna.

Alternativt kan en diagonal användas som gemensam bas för två kongruenta trianglar. Deras höjder blir tillsammans den andra diagonalen och ger samma formel.

Kan man kvadrera sidan?

Bara om romben är en kvadrat. I en sned romb är den vinkelräta höjden kortare än sidan. Parallellogrammens formel använder bas gånger höjd, inte den sneda grannsidan. Romber med samma sidlängder kan därför ha olika area.

Halva diagonalerna och en sida bildar en rätvinklig triangel. Med båda diagonalerna kan Pythagoras ge sidan och sedan omkretsen:

För diagonalerna 10 cm och 6 cm är sidans kvadrat 34 kvadratcentimeter, vilket inte är arean på 30 kvadratcentimeter.

Är en kvadrat också en romb?

Ja. Den har fyra lika sidor och fyra räta vinklar. Dess diagonaler är lika långa, till skillnad från en romb som inte är kvadratisk. I varje romb halverar diagonalerna också hörnvinklarna. Det finns en inskriven cirkel som tangerar alla fyra sidor och närliggande vinklar ger tillsammans 180°. Se kvadratens area och diagonal.