Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur. Ses côtés opposés sont parallèles et ses angles opposés sont égaux. Pour calculer son aire, utilisez les deux diagonales ou une base et sa hauteur perpendiculaire. Le côté seul ne suffit pas.
L’aire à partir des diagonales
Multipliez les longueurs des diagonales D et d, puis divisez par deux. Si la base b et sa hauteur h sont connues, leur produit donne la même aire :
Exprimez les diagonales dans la même unité. Le résultat est dans l’unité carrée correspondante. Les lettres identifient simplement les deux diagonales ; la formule reste valable lorsqu’elles sont égales.
Exemple avec des diagonales de 10 cm et 6 cm
Le produit des diagonales vaut 60 centimètres carrés. On en prend la moitié :
Utiliser des diagonales de 10 cm et 6 cm étape par étape
On cherche l’aire d’un losange dont les diagonales entières mesurent 10 cm et 6 cm. La formule utilise leurs longueurs complètes, pas leurs moitiés.
Remplacez les deux longueurs et conservez la division par deux.
Multipliez 10 par 6, puis divisez le produit par deux. Le résultat est en centimètres carrés.
Vérifiez géométriquement : les demi-diagonales mesurent 5 cm et 3 cm. Chacun des quatre triangles rectangles a une aire de 7,5 centimètres carrés.
Les quatre aires totalisent 30 centimètres carrés, comme avec la formule des diagonales. Oublier la division par deux donnerait le double de l’aire correcte.
N’oubliez pas la division par deux. Un losange dont les sommets sont les milieux des côtés d’un rectangle occupe la moitié de son aire ; les dimensions du rectangle sont celles des diagonales.
Démontrer la formule avec quatre triangles
Les diagonales du losange se coupent perpendiculairement en leur milieu. Elles créent quatre triangles rectangles dont les côtés perpendiculaires sont les demi-diagonales. Chaque triangle a pour aire la moitié du produit de ces deux longueurs. La somme des quatre aires donne la moitié du produit des diagonales entières.
On peut aussi choisir une diagonale comme base de deux triangles superposables. Leurs hauteurs additionnées forment l’autre diagonale, ce qui conduit au même résultat.
Peut-on mettre le côté au carré ?
Seulement si le losange est un carré. Dans un losange incliné, la hauteur perpendiculaire est plus courte que le côté. La formule du parallélogramme multiplie la base par la hauteur, pas par le côté oblique. Deux losanges de mêmes côtés peuvent donc avoir des aires différentes.
Les demi-diagonales et un côté forment un triangle rectangle. Si les deux diagonales sont connues, Pythagore permet de retrouver le côté puis le périmètre :
Pour 10 cm et 6 cm, le carré du côté vaut 34 centimètres carrés, ce qui diffère des 30 centimètres carrés de l’aire.
Le carré est-il un losange ?
Oui : il a quatre côtés égaux et quatre angles droits. Ses diagonales sont égales, contrairement à celles d’un losange non carré. Dans tout losange, les diagonales partagent aussi les angles des sommets en deux angles égaux, et un cercle inscrit touche les quatre côtés. Les angles voisins sont supplémentaires. Consultez l’aire et la diagonale du carré pour ce cas particulier.
