Aire d’un carré : côté, périmètre et diagonale

L’aire d’un carré mesure la région plane à l’intérieur de ses quatre côtés. Un carré possède quatre côtés égaux et quatre angles droits. Sa base et sa hauteur mesurant toutes deux a, l’aire est a multiplié par lui-même.

Pourquoi met-on le côté au carré ?

L’aire d’un rectangle est sa base multipliée par sa hauteur perpendiculaire. Dans un carré, ces deux longueurs sont égales au côté :

Un carré de côté 10 cm peut être recouvert par dix rangées de dix carrés unitaires, soit 100 carrés au total :

Il s’agit de 100 centimètres carrés, pas d’une longueur de 100 cm. Multiplier deux mesures en centimètres produit une unité d’aire.

Ne pas confondre aire et périmètre

Le périmètre mesure le tour de la figure. Additionnez les quatre côtés ou multipliez l’un d’eux par quatre. Un carré de côté 5 cm a un périmètre de 20 cm :

Son aire vaut 25 centimètres carrés. Un cadre autour du carré concerne le périmètre ; recouvrir l’intérieur concerne l’aire. Choisissez la formule en fonction de la grandeur demandée.

Comment calculer la diagonale ?

Une diagonale relie deux sommets opposés. Elle partage le carré en deux triangles rectangles superposables dont les côtés perpendiculaires mesurent a. Pythagore relie la diagonale d au côté :

Pour un côté de 10 cm, la diagonale exacte vaut dix fois la racine de deux centimètres, soit environ 14,14 cm. Elle doit être plus longue qu’un côté mais plus courte que deux côtés additionnés, ce qui aide à repérer une erreur.

Calculer l’aire à partir de la diagonale

En réorganisant la relation précédente, l’aire vaut la moitié du carré de la diagonale. Si l’aire est connue, sa racine carrée positive donne le côté :

Trouver l’aire avec une diagonale de 10 cm

Un carré possède une diagonale de 10 cm. On cherche son aire puis son côté. Cette fois, 10 cm n’est pas la longueur du côté.

1. Élevez la diagonale au carré. Cette valeur intermédiaire n’est pas encore l’aire du carré.

   $$d^2={10}^2=100{\text{cm}}^2$$

2. Divisez par deux en utilisant la relation issue de Pythagore. L’aire obtenue vaut 50 centimètres carrés.

   $$A=\frac{100}{2}=50{\text{cm}}^2$$

3. Prenez la racine carrée positive de l’aire pour retrouver le côté. Simplifiez le radical avant d’arrondir.

   $$a=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx \mathrm{7,07}\text{cm}$$

Le côté mesure environ 7,07 cm. Il est plus court que la diagonale de 10 cm, comme attendu. Utiliser 10 cm comme côté aurait donné l’aire incorrecte de 100 centimètres carrés.

Une diagonale de 10 cm correspond à 50 centimètres carrés, alors qu’un côté de 10 cm correspond à 100 centimètres carrés. Identifiez la longueur donnée avant de la remplacer dans la formule.

Convertir les unités avant le calcul

Un côté de 50 cm vaut 0,5 m. Son aire est de 2 500 centimètres carrés, soit 0,25 mètre carré. Convertir d’abord le côté évite d’appliquer directement un facteur de longueur à une aire. Un mètre carré contient 10 000 centimètres carrés.

Doubler le côté double le périmètre, mais multiplie l’aire par quatre. Les formules supposent un véritable carré : quatre côtés égaux peuvent aussi former un losange, dont l’aire dépend de sa forme. Les six faces d’un cube sont des carrés, et la même aire est donc comptée six fois.