L’aire d’un cube est la somme des aires de ses six faces carrées. Toutes ses arêtes ont la même longueur a et chaque face a pour aire le carré de cette longueur. Le cube possède aussi douze arêtes et huit sommets.
Pourquoi multiplier l’aire d’une face par six ?
Un patron déplie les six faces dans le plan sans modifier leurs aires. Leur somme donne l’aire totale. Si l’on choisit deux faces opposées comme bases, les quatre autres constituent la surface latérale.
Les indices T, L et B désignent l’aire totale, l’aire latérale et l’aire d’une base. La formule de la base concerne une seule face, pas les deux bases réunies. Choisir un autre couple de faces opposées ne change pas les valeurs.
Exemple pour une arête de 4 cm
Chaque face a une aire de 16 centimètres carrés. En multipliant par six :
Additionner les six faces d’un cube d’arête 4 cm
Calculons l’aire totale d’un cube fermé dont l’arête mesure 4 cm. Puisqu’il est fermé, ses six faces doivent être incluses.
Calculez d’abord une face carrée. Ses deux côtés perpendiculaires mesurent 4 cm.
Multipliez cette aire par six. Ce facteur compte les faces, et non les arêtes ou les sommets.
Vérifiez en séparant les quatre faces latérales des deux autres faces. Les deux parties doivent donner la même aire totale.
Le cube possède 96 centimètres carrés de surface. Retirer une face décrirait un autre objet et réduirait l’aire prise en compte.
Les quatre faces latérales totalisent 64 centimètres carrés. Les deux bases ajoutent chacune 16, ce qui confirme 64 + 16 + 16 = 96.
Que faire pour une boîte sans couvercle ?
Un cube fermé comprend six faces. Une boîte idéale sans couvercle de mêmes dimensions en comprend cinq : l’aire de matériau est donc cinq fois celle d’une face. Si seules les parois latérales sont demandées, comptez quatre faces. Identifiez les surfaces incluses avant de choisir le multiplicateur.
Pour une boîte réelle, l’épaisseur du matériau, les languettes, les recouvrements et les chutes nécessitent des données supplémentaires. Le patron géométrique ne prévoit pas automatiquement ces marges de fabrication.
Deux diagonales à ne pas confondre
La diagonale d’une face relie deux sommets opposés d’un même carré. Elle est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés perpendiculaires mesurent a. La diagonale du cube relie des sommets opposés en traversant l’intérieur. Une seconde application de Pythagore donne :
Avec une arête de 4 cm, la diagonale de face vaut quatre fois la racine de deux centimètres ; celle du cube vaut quatre fois la racine de trois centimètres. La seconde est plus longue puisqu’elle traverse les trois dimensions perpendiculaires.
Vérifier la grandeur et son unité
L’aire s’exprime en unités carrées, les arêtes et diagonales en unités de longueur, et le volume en unités cubes. Multiplier trois arêtes calcule un volume, pas une aire. Doubler l’arête multiplie l’aire totale par quatre.
Ces formules supposent six faces carrées superposables. Un pavé droit d’arêtes inégales demande de distinguer les différentes faces. Revoyez l’aire du carré pour le calcul d’une face du cube.
