Die Oberfläche eines Würfels ist die Summe seiner sechs quadratischen Seitenflächen. Jede Kante hat dieselbe Länge a, und jede Fläche ist so groß wie das Quadrat dieser Länge. Der Würfel besitzt außerdem zwölf Kanten und acht Ecken.
Warum ist die Oberfläche sechsmal so groß wie eine Fläche?
Ein Würfelnetz klappt die sechs Flächen in die Ebene, ohne ihre Größe zu verändern. Ihre Summe ergibt die Oberfläche. Werden zwei gegenüberliegende Flächen als Grund- und Deckfläche gewählt, bilden die übrigen vier die Mantelfläche.
T steht für die gesamte Oberfläche, L für die Mantelfläche und B für eine Grundfläche. Die Grundflächenformel zählt eine Fläche, nicht beide zusammen. Eine andere Wahl gegenüberliegender Grundflächen verändert die Werte nicht.
Beispiel mit 4 cm Kantenlänge
Eine Fläche hat 16 Quadratzentimeter. Mit sechs multipliziert ergibt sich:
Die sechs Flächen eines Würfels mit 4 cm Kantenlänge addieren
Wir bestimmen die Oberfläche eines geschlossenen Würfels mit 4 cm Kantenlänge. Weil er geschlossen ist, zählen alle sechs Flächen.
Berechne zuerst eine quadratische Fläche. Ihre beiden senkrechten Seiten sind jeweils 4 cm lang.
Multipliziere diese Fläche mit sechs. Der Faktor zählt Flächen, nicht Kanten oder Ecken.
Prüfe das Ergebnis, indem du die vier Mantelflächen von den beiden übrigen Flächen trennst. Beide Teile müssen zusammen dieselbe Oberfläche ergeben.
Die Oberfläche beträgt 96 Quadratzentimeter. Eine Fläche wegzulassen würde einen anderen Körper beschreiben und die berücksichtigte Fläche verkleinern.
Die vier Mantelflächen haben zusammen 64 Quadratzentimeter. Grund- und Deckfläche liefern jeweils weitere 16. Damit bestätigt 64 + 16 + 16 = 96 das Ergebnis.
Was gilt für eine Schachtel ohne Deckel?
Ein geschlossener Würfel hat sechs Flächen. Eine ideale offene Schachtel mit denselben Maßen hat fünf quadratische Flächen; ihr Materialbedarf entspricht daher fünf Einzelflächen. Sind nur die Seitenwände gesucht, zählen vier Flächen. Prüfe vor dem Multiplizieren, welche Flächen dazugehören.
Bei echten Schachteln erfordern Materialdicke, Laschen, Überlappungen und Verschnitt zusätzliche Angaben. Ein geometrisches Netz beschreibt ideale Flächen ohne automatische Fertigungszugaben.
Flächendiagonale und Raumdiagonale
Die Flächendiagonale verbindet gegenüberliegende Ecken eines Quadrats. Sie ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit zwei Katheten der Länge a. Die Raumdiagonale verläuft zwischen gegenüberliegenden Würfelecken durch das Innere. Eine weitere Anwendung des Satzes von Pythagoras ergibt:
Bei Kantenlänge 4 cm ist die Flächendiagonale viermal die Wurzel aus zwei Zentimeter lang; die Raumdiagonale viermal die Wurzel aus drei Zentimeter. Letztere ist länger, weil sie alle drei senkrechten Raumrichtungen überspannt.
Auf Größe und Einheit achten
Flächen haben Quadrateinheiten, Kanten und Diagonalen Längeneinheiten und Volumina Kubikeinheiten. Drei Kanten zu multiplizieren berechnet das Volumen, nicht die Oberfläche. Eine doppelte Kantenlänge vervierfacht die Oberfläche.
Die Formeln setzen sechs gleich große Quadratflächen voraus. Bei einem Quader mit unterschiedlichen Kanten müssen die verschiedenen Flächen separat berücksichtigt werden. Grundlage ist die Flächenberechnung beim Quadrat.
