Oppervlakte van een kubus: zijvlakken, grondvlak en diagonalen

De oppervlakte van een kubus is de som van zijn zes vierkante vlakken. Alle ribben hebben dezelfde lengte a, en ieder vlak heeft de oppervlakte van die lengte in het kwadraat. De kubus heeft ook twaalf ribben en acht hoekpunten.

Waarom vermenigvuldig je één vlak met zes?

Een uitslag legt de zes vlakken in het platte vlak zonder hun oppervlakte te veranderen. Hun som is de totale oppervlakte. Kies je twee tegenoverliggende vlakken als grond- en bovenvlak, dan vormen de overige vier het manteloppervlak.

T betekent totale oppervlakte, L manteloppervlakte en B de oppervlakte van één grondvlak. De grondvlakformule telt één vlak, niet beide tegenoverliggende vlakken samen. Een ander paar als grond- en bovenvlak kiezen verandert de uitkomsten niet.

Voorbeeld met een ribbe van 4 cm

Ieder vlak heeft 16 vierkante centimeter oppervlakte. Vermenigvuldigen met zes geeft:

De zes vlakken van een kubus met ribbe 4 cm optellen

We berekenen de totale oppervlakte van een gesloten kubus met ribbe 4 cm. Omdat hij gesloten is, moeten alle zes vlakken meetellen.

1. Bereken eerst één vierkant vlak. De twee loodrechte zijden zijn elk 4 cm lang.

   $$A_1=4\times 4=16{\text{cm}}^2$$

2. Vermenigvuldig die oppervlakte met zes. De factor telt vlakken, geen ribben of hoekpunten.

   $$A_T=6\times 16=96{\text{cm}}^2$$

3. Controleer door de vier zijvlakken te scheiden van de twee overige vlakken. Samen moeten ze dezelfde totale oppervlakte geven.

   $$A_L=4\times 16=64{\text{cm}}^2$$
   $$2A_B=2\times 16=32{\text{cm}}^2$$
   $$A_T=64+32=96{\text{cm}}^2$$

De kubus heeft 96 vierkante centimeter oppervlakte. Eén vlak weglaten zou een ander voorwerp beschrijven en de meegetelde oppervlakte verkleinen.

De vier zijvlakken hebben samen 64 vierkante centimeter. Grond- en bovenvlak voegen elk 16 toe, zodat 64 + 16 + 16 = 96. Zo controleer je de optelling.

Wat verandert bij een doos zonder deksel?

Een gesloten kubus heeft zes vlakken. Een ideale doos zonder deksel met dezelfde afmetingen heeft vijf vierkante vlakken; de benodigde materiaaloppervlakte is dus vijfmaal één vlak. Voor alleen de zijwanden tel je vier vlakken. Bepaal eerst welke oppervlakken worden gevraagd.

Bij een echte doos vragen materiaaldikte, plakranden, overlappingen en snijverlies om extra gegevens. Een geometrische uitslag bevat die productiemarges niet vanzelf.

Vlakdiagonaal en lichaamsdiagonaal

Een vlakdiagonaal verbindt twee tegenoverliggende hoekpunten van één vierkant. Het is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a. De lichaamsdiagonaal loopt door het binnenste tussen tegenoverliggende kubushoeken. Nogmaals Pythagoras toepassen geeft:

Bij ribbe 4 cm is de vlakdiagonaal viermaal de wortel uit twee centimeter; de lichaamsdiagonaal viermaal de wortel uit drie centimeter. De laatste is langer doordat hij drie loodrechte richtingen overspant.

Grootheid en eenheid controleren

Oppervlakte heeft vierkante eenheden, ribben en diagonalen lengte-eenheden en inhoud kubieke eenheden. Drie ribben vermenigvuldigen berekent inhoud, geen oppervlakte. Een dubbele ribbe verviervoudigt de totale oppervlakte.

Deze formules gelden voor zes congruente vierkante vlakken. Bij een balk met ongelijke ribben moet je de verschillende vlakken apart berekenen. De basis is de oppervlakte van een vierkant.