Oppervlakte van een vierkant: zijde, omtrek en diagonaal

De oppervlakte van een vierkant meet het vlakke gebied binnen de vier zijden. Een vierkant heeft vier gelijke zijden en vier rechte hoeken. Omdat basis en hoogte allebei a lang zijn, is de oppervlakte a maal a.

Waarom kwadrateer je de zijde?

Bij een rechthoek vermenigvuldig je de basis met de loodrechte hoogte. In een vierkant zijn beide gelijk aan de zijde:

Een vierkant met zijde 10 cm kun je bedekken met tien rijen van tien eenheidsvierkantjes. Samen zijn dat er 100:

De uitkomst is 100 vierkante centimeter, geen lengte van 100 cm. Twee lengtes in centimeters vermenigvuldigen geeft een oppervlakte-eenheid.

Oppervlakte en omtrek zijn verschillende grootheden

Omtrek is de afstand rond de rand. Tel de vier zijden op of vermenigvuldig één zijde met vier. Een vierkant met zijde 5 cm heeft omtrek 20 cm:

Zijn oppervlakte is 25 vierkante centimeter. Een lijst rondom betreft de omtrek; de binnenkant bedekken betreft de oppervlakte. Kies de formule op basis van de gevraagde grootheid.

De diagonaal berekenen

Een diagonaal verbindt tegenoverliggende hoekpunten. Hij verdeelt het vierkant in twee congruente rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden a. Pythagoras koppelt diagonaal d aan de zijde:

Bij zijde 10 cm is de diagonaal exact tienmaal de wortel uit twee centimeter, ongeveer 14,14 cm. Hij moet langer zijn dan één zijde en korter dan twee zijden samen. Dat helpt om een fout te herkennen.

Oppervlakte als alleen de diagonaal bekend is

Na herschrijven is de oppervlakte de helft van de diagonaal in het kwadraat. Is de oppervlakte bekend, dan geeft de positieve vierkantswortel de zijlengte:

De oppervlakte vinden uit een diagonaal van 10 cm

Een vierkant heeft een diagonaal van 10 cm. We zoeken de oppervlakte en daarna de zijde. De 10 cm is deze keer geen zijlengte.

1. Kwadrateer de diagonaal. Die tussenwaarde is nog niet de oppervlakte van het vierkant.

   $$d^2={10}^2=100{\text{cm}}^2$$

2. Deel door twee met de uit Pythagoras afgeleide relatie. De oppervlakte wordt 50 vierkante centimeter.

   $$A=\frac{100}{2}=50{\text{cm}}^2$$

3. Neem de positieve vierkantswortel van de oppervlakte om de zijde te vinden. Vereenvoudig de wortel voordat je afrondt.

   $$a=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx \mathrm{7,07}\text{cm}$$

De zijde is ongeveer 7,07 cm en dus korter dan de diagonaal van 10 cm. 10 cm als zijde gebruiken zou ten onrechte 100 vierkante centimeter opleveren.

Een diagonaal van 10 cm hoort bij 50 vierkante centimeter. Een zijde van 10 cm hoort bij 100 vierkante centimeter. Bepaal vóór het invullen welke lengte is gegeven.

Eenheden omrekenen vóór het kwadrateren

Een zijde van 50 cm is 0,5 m. De oppervlakte is 2.500 vierkante centimeter of 0,25 vierkante meter. Eerst de zijde omrekenen voorkomt dat je een lengtefactor rechtstreeks op een oppervlakte toepast. Eén vierkante meter bevat 10.000 vierkante centimeter.

Een dubbele zijde verdubbelt de omtrek maar verviervoudigt de oppervlakte. Vier gelijke zijden alleen zijn niet genoeg voor deze formule: ze kunnen ook een ruit vormen. Elke zijde van een kubus vormt een vierkant vlak, waarvan de oppervlakte voor de totale buitenkant zesmaal meetelt.