Kuution pinta-ala: tahkot, pohja ja lävistäjät

Kuution pinta-ala on sen kuuden neliömäisen tahkon pinta-alojen summa. Kaikkien särmien pituus on a, ja jokaisen tahkon ala on tämän pituuden neliö. Kuutiolla on myös kaksitoista särmää ja kahdeksan kärkeä.

Miksi yhden neliön ala kerrotaan kuudella?

Tasokuvio avaa kuusi tahkoa tasoon muuttamatta niiden aloja. Summa antaa kokonaispinta-alan. Jos kaksi vastakkaista tahkoa valitaan pohjiksi, muut neljä muodostavat vaipan.

T tarkoittaa kokonaisalaa, L vaipan alaa ja B yhden pohjan alaa. Pohjan kaava koskee yhtä neliötä, ei molempia vastakkaisia tahkoja yhteensä. Toisen pohjaparin valitseminen ei muuta arvoja.

Esimerkki: särmä 4 cm

Jokaisen tahkon ala on 16 neliösenttimetriä. Kerro kuudella:

Kuuden tahkon yhteenlasku särmän ollessa 4 cm

Laskemme suljetun kuution kokonaispinta-alan, kun särmä on 4 cm. Koska kuutio on suljettu, kaikki kuusi tahkoa otetaan mukaan.

1. Laske ensin yksi neliömäinen tahko. Molemmat kohtisuorat sivut ovat 4 cm.

   $$A_1=4\times 4=16{\text{cm}}^2$$

2. Kerro tahkon ala kuudella. Kerroin laskee tahkoja, ei särmiä tai kärkiä.

   $$A_T=6\times 16=96{\text{cm}}^2$$

3. Tarkista erottamalla neljä sivutahkoa kahdesta muusta tahkosta. Osien summan on annettava sama kokonaispinta-ala.

   $$A_L=4\times 16=64{\text{cm}}^2$$
   $$2A_B=2\times 16=32{\text{cm}}^2$$
   $$A_T=64+32=96{\text{cm}}^2$$

Kuution pinta-ala on 96 neliösenttimetriä. Yhden tahkon poistaminen kuvaisi eri esinettä ja pienentäisi mukaan laskettavaa alaa.

Neljä sivutahkoa antaa 64 neliösenttimetriä. Pohja ja kansi lisäävät kumpikin 16, joten 64 + 16 + 16 = 96. Tämä tarkistaa summan.

Entä laatikko ilman kantta?

Suljetulla kuutiolla on kuusi tahkoa. Samankokoisella ihanteellisella kannettomalla laatikolla on viisi neliömäistä tahkoa, joten materiaalin ala on viisi kertaa yhden tahkon ala. Jos kysytään vain sivuseiniä, lasketaan neljä. Päätä ensin, mitkä pinnat sisältyvät tehtävään.

Todellisessa laatikossa materiaalin paksuus, liimausvarat, päällekkäisyydet ja hukka vaativat lisätietoja. Geometrinen tasokuvio ei sisällä tällaisia valmistusvaroja automaattisesti.

Tahkon lävistäjä ja avaruuslävistäjä

Tahkon lävistäjä yhdistää yhden neliön vastakkaiset kärjet. Se on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, kun kateetit ovat a. Kuution avaruuslävistäjä kulkee sisätilan läpi vastakkaisten kärkien välillä. Toinen Pythagoraan lauseen käyttö antaa:

Särmällä 4 cm tahkon lävistäjä on neljä kertaa kahden neliöjuuri senttimetreinä ja avaruuslävistäjä neljä kertaa kolmen neliöjuuri. Jälkimmäinen on pidempi, sillä se ulottuu kolmeen kohtisuoraan suuntaan.

Tarkista suure ja yksikkö

Pinta-aloilla on neliöyksiköt, särmillä ja lävistäjillä pituusyksiköt ja tilavuudella kuutioyksiköt. Kolmen särmän kertominen antaa tilavuuden, ei pinta-alaa. Särmän kaksinkertaistaminen nelinkertaistaa kokonaispinta-alan.

Kaavat olettavat kuusi yhtenevää neliötä. Erikokoisia särmiä sisältävällä suorakulmaisella särmiöllä eri tahkojen alat lasketaan erikseen. Pohjana on neliön pinta-ala.