A média geométrica é o fator constante que conserva o produto de um conjunto de valores positivos. Em vez de somar e repartir um total, multiplica os valores e extrai a raiz correspondente. Por isso, é a média adequada para razões, variações proporcionais, crescimento composto e fatores de escala.
Conservar um produto não é equilibrar uma soma
Para dois números positivos (a) e (b), a média geométrica é o lado de um quadrado com a mesma área de um retângulo de lados (a) e (b). A média aritmética dá, por outro lado, o lado de um quadrado com o mesmo perímetro. As duas médias conservam grandezas diferentes.
Altere os valores no comparador. A média aritmética fica sempre acima ou igual à geométrica, e ambas coincidem apenas quando os dois valores são iguais.
Compare duas médias
As duas médias coincidem apenas quando os valores são iguais.
Exemplo com três fatores
Para 2, 8 e 32, o produto é 512. Como existem três fatores, extrai-se a raiz cúbica e obtém-se 8. A verificação é imediata: substituir os três fatores por 8 conserva o produto, pois 8 vezes 8 vezes 8 também é 512.
A média aritmética dos mesmos valores é 14 e conserva a soma. Nenhuma das respostas é sempre melhor; a relação descrita pelo problema decide se interessa preservar uma soma ou um produto.
Taxas compostas devem virar fatores
Suponha uma subida de 20% num período e uma descida de 10% no seguinte. Converta as variações nos fatores 1,20 e 0,90. O produto é 1,08; a raiz quadrada desse produto fornece o fator constante equivalente. Só depois se subtrai um para obter a taxa.
A taxa equivalente é cerca de 3,92% por período. A média aritmética de +20% e −10% seria 5%, mas aplicar 5% duas vezes produz 1,1025, e não 1,08. O cálculo pressupõe períodos de igual duração; períodos diferentes precisam de pesos ou expoentes temporais.
Valores nulos e negativos exigem cuidado
Na definição estatística real habitual, todas as entradas devem ser positivas. Um zero torna o produto nulo e impede a interpretação logarítmica. Valores negativos podem gerar uma raiz não real quando a quantidade de fatores é par. Tomar valores absolutos sem justificação muda o significado dos dados.
Para valores positivos, a média geométrica nunca supera a aritmética. Em listas longas, multiplicar diretamente pode causar excesso ou falta de capacidade numérica; um cálculo estável faz a média dos logaritmos e aplica a exponencial, mantendo a mesma exigência de positividade.
Aplicações que respeitam o modelo
Use esta média em rendimentos compostos de períodos iguais, mudanças sucessivas de escala e razões normalizadas. Use a média aritmética quando as observações contribuem por adição. Em investimentos, trabalhe com fatores após ganhos, perdas e custos, não com percentagens soltas. Uma perda de 100% cria fator zero e não pode ser compensada por qualquer ganho finito posterior.
Como controlo, eleve a média obtida ao número de fatores e compare com o produto original. Num cálculo aproximado, as pequenas diferenças devem resultar apenas do arredondamento. Se o resultado ficar fora do intervalo entre o menor e o maior valor positivo, houve erro na raiz, no produto ou no número de fatores.
