Das geometrische Mittel ist der konstante Faktor, der dasselbe Produkt wie mehrere positive Werte erzeugt. Statt eine Summe zu verteilen, werden die Werte multipliziert und die passende Wurzel gezogen. Deshalb eignet es sich für Verhältnisse, proportionale Änderungen, Zinseszins und wiederholte Skalierungen.
Produkterhaltung beantwortet eine andere Frage
Für zwei positive Zahlen (a) und (b) ist das geometrische Mittel die Seitenlänge eines Quadrats mit derselben Fläche wie ein Rechteck mit Seiten (a) und (b). Das arithmetische Mittel liefert dagegen ein Quadrat mit demselben Umfang. Beide Mittel erhalten unterschiedliche Größen.
Ändere die zwei Werte. Das arithmetische Mittel liegt nie unter dem geometrischen; Gleichheit gilt genau bei gleichen Eingaben.
Vergleiche zwei Mittelwerte
Beide Mittel stimmen nur bei gleichen Werten überein.
Exaktes Beispiel mit drei Faktoren
Für 2, 8 und 32 ist das Produkt 512. Bei drei Faktoren wird die dritte Wurzel gezogen; das Ergebnis ist 8. Die Kontrolle gelingt ohne Näherung: 8 mal 8 mal 8 ist ebenfalls 512.
Das arithmetische Mittel derselben Zahlen ist 14 und erhält ihre Summe. Welche Antwort sinnvoll ist, hängt davon ab, ob der Zusammenhang additiv oder multiplikativ ist.
Wachstumsraten zuerst in Faktoren umwandeln
Ein Anstieg um 20% und danach ein Rückgang um 10% entsprechen den Faktoren 1,20 und 0,90. Ihr Produkt ist 1,08. Die Quadratwurzel liefert den gleichbleibenden Periodenfaktor; erst anschließend wird eins abgezogen.
Die äquivalente Rate beträgt etwa 3,92% je Periode. Das arithmetische Mittel der Raten wäre 5%, doch zweimal 5% ergibt den Faktor 1,1025 statt 1,08. Gleiche Periodenlängen sind vorausgesetzt; unterschiedliche Dauern benötigen Zeitgewichte.
Null und negative Werte begrenzen die Definition
In der üblichen reellen Statistik müssen alle Eingaben positiv sein. Eine Null macht das Produkt null und zerstört die logarithmische Deutung. Negative Werte können bei gerader Anzahl zu keiner reellen Wurzel führen. Beträge einzusetzen würde die Aussage der Daten verändern.
Für positive Werte überschreitet das geometrische Mittel das arithmetische nie. Bei langen Listen kann ein direktes Produkt numerisch über- oder unterlaufen; stabiler ist, Logarithmen zu mitteln und anschließend zu exponentieren. Positive Eingaben bleiben erforderlich.
Sinnvolle Einsatzgebiete
Verwende das geometrische Mittel für zusammengesetzte Renditen gleich langer Perioden, Skalierungsfaktoren und normierte Verhältnisse. Bei additiven Beiträgen passt das arithmetische Mittel. Eine Renditereihe muss in Faktoren umgerechnet werden. Ein Verlust von 100% erzeugt Faktor null und lässt sich durch keinen endlichen späteren Gewinn ausgleichen.
Eine gute Rückprobe potenziert das berechnete Mittel mit der Anzahl der Faktoren und vergleicht das Ergebnis mit dem ursprünglichen Produkt. Kleine Unterschiede dürfen aus der Rundung stammen. Das geometrische Mittel positiver Werte muss außerdem zwischen kleinstem und größtem Wert liegen. Liegt es außerhalb, wurden meist Wurzelexponent, Produkt oder die Umwandlung einer Änderungsrate in einen Faktor verwechselt. Bei großen Datenmengen sollten Logarithmen mit ausreichender Genauigkeit verarbeitet werden.
Bei einer Wachstumsreihe sollte zusätzlich geprüft werden, ob alle Perioden gleich lang sind. Ein Monatsfaktor und ein Jahresfaktor dürfen nicht gleich gewichtet werden. Zuerst werden sie auf eine gemeinsame Zeitbasis gebracht; erst dann beschreibt ein einziges geometrisches Mittel einen vergleichbaren Periodeneffekt.
