Das arithmetische Mittel entsteht, indem alle Beobachtungen addiert und durch ihre Anzahl geteilt werden. Es beantwortet eine Ausgleichsfrage: Welcher Wert ergäbe sich, wenn die Summe gleichmäßig verteilt würde? Weil jeder Datenpunkt eingeht, reagieren Mittelwerte empfindlich auf sehr große oder kleine Werte.
Ein Ausreißer verschiebt den Schwerpunkt
Vier Werte bleiben im interaktiven Datensatz fest, der fünfte ist veränderbar. Das Mittel bewegt sich bei jeder Änderung, während der Median über einen größeren Bereich in der Mitte bleibt. Das ist bei schiefen Verteilungen wie Einkommen, Hauspreisen oder Wartezeiten wichtig.
Vergleiche Mittelwert und Median bei einem Ausreißer
Verschiebe die letzte Beobachtung und beobachte, welches Lagemaß stärker reagiert.
Berechnung aus Summe und Anzahl
Für 6, 8, 9, 12 und 15 beträgt die Summe 50, die Anzahl fünf. Das arithmetische Mittel ist 10. Es trägt dieselbe Einheit wie die Ausgangsdaten, nicht deren Quadrat oder Kubik.
Zur Rückkontrolle multipliziert man Mittelwert und Anzahl: 10 mal 5 ergibt wieder 50. Leere Felder und fehlende Messungen dürfen nicht stillschweigend als null zählen, denn das verändert Summe und Anzahl.
Häufigkeiten verkürzen wiederholte Daten
Multipliziere jeden Wert mit seiner Häufigkeit, addiere die Produkte und teile durch die Gesamthäufigkeit. Das entspricht genau der ausgeschriebenen Liste.
Im Beispiel tritt 2 dreimal, 4 zweimal und 7 einmal auf. Die gewichtete Summe ist 21 und die Häufigkeit 6; das Mittel ist 3,5. Sind die Gewichte Prozentsätze oder Bedeutungen statt Anzahlen, handelt es sich um ein gewichtetes Mittel.
Eine fehlende Beobachtung zurückrechnen
Multipliziere den bekannten Mittelwert mit der Zahl der Beobachtungen, um die notwendige Gesamtsumme zu erhalten. Ziehe die Summe der bekannten Werte ab.
Fünf Werte mit Mittel 14 müssen 70 ergeben. Die vier bekannten Werte summieren sich zu 55; der fehlende Wert ist 15. Einsetzen bestätigt Summe und Mittel.
Aussagekraft, Rundung und Gruppengrößen
Das Mittel passt zu quantitativen Daten mit sinnvoller Summe, besonders bei ungefähr symmetrischen Verteilungen. Für ungeordnete Kategorien wie Farben ist es bedeutungslos. Bei starker Schiefe sollte auch der Median genannt werden; die häufigste Kategorie beschreibt der Modus. Siehe Mittelwert, Median und Modus.
Mittelwerte verschiedener Gruppen dürfen nicht ohne Gruppengrößen gemittelt werden. Bei 10 und 30 Personen dienen 10 und 30 als Gewichte. Behalte intern genügend Stellen und runde erst das Endergebnis entsprechend der Messgenauigkeit.
Bei Raten muss zuerst geklärt werden, welche Größe gleich bleibt. Das arithmetische Mittel von Geschwindigkeiten passt zu gleich langen Zeitabschnitten. Werden dagegen gleich lange Strecken zurückgelegt, unterscheiden sich die Fahrzeiten und das harmonische Mittel beschreibt die mittlere Geschwindigkeit. Ebenso benötigen Gruppenmittel ihre Gruppengrößen. Eine korrekte Formel ohne passende Gewichtung kann daher eine mathematisch saubere, aber sachlich falsche Antwort erzeugen.
Ein weiterer Plausibilitätstest vergleicht Mittelwert und Datenbereich. Bei ausschließlich nichtnegativen Beobachtungen darf ein einfacher Mittelwert nicht unter dem Minimum oder über dem Maximum liegen. Werden Werte in verschiedene Einheiten umgerechnet, muss das vor der Summenbildung geschehen. Sonst verbindet die Rechnung Zahlen, die zwar addierbar aussehen, aber verschiedene Größen darstellen.
