Ein gewichtetes Mittel lässt einzelne Werte unterschiedlich stark einfließen. Jeder Wert wird mit seinem Gewicht multipliziert, die Produkte werden addiert und durch die Summe der Gewichte geteilt. So lassen sich Notenanteile, Häufigkeitstabellen, Indizes und Gruppen verschiedener Größe zusammenfassen.
Gewichte müssen eine konkrete Bedeutung haben
Jedes Gewicht gehört genau zu einem Wert. Es kann eine Anzahl, ein Prozentsatz, eine Wahrscheinlichkeit, eine Dauer oder ein Zuverlässigkeitsmaß sein. Werden alle Gewichte mit derselben positiven Zahl multipliziert, bleibt das Mittel unverändert, weil Zähler und Nenner gleich skaliert werden.
Verändere Werte und Gewichte. Bei nichtnegativen Gewichten mit positiver Summe liegt das Ergebnis zwischen kleinstem und größtem Wert.
Stelle ein gewichtetes Mittel zusammen
Ein größeres Gewicht zieht das Ergebnis zum zugehörigen Wert.
Durchgerechnete Abschlussnote
Aufgaben zählen 25%, ein Projekt 35% und die Prüfung 40%. Die Leistungen lauten 80, 92 und 75. Multipliziere jede Leistung mit dem passenden Gewicht, addiere und teile durch die Gewichtssumme.
Das Ergebnis ist 81,2. Es liegt zwischen 75 und 92 und berücksichtigt die stärker gewichteten Teile. Das einfache Mittel von ungefähr 82,33 würde allen drei Leistungen denselben Einfluss geben und die Bewertungsregel verfehlen.
Prozente brauchen einen einheitlichen Nenner
25%, 35% und 40% ergeben 100%. Fehlt ein Teil und die Summe ist kleiner, muss entschieden werden, ob die vorhandenen Gewichte neu normiert werden oder ob der fehlende Anteil mit null zählt. Das sind verschiedene Auswertungen.
Der Nenner ist stets die tatsächliche Gewichtssumme. Durch die Zahl der Werte darf nur bei gleichen Gewichten geteilt werden. 25, 35 und 40 liefern dasselbe wie 0,25, 0,35 und 0,40; beide Skalen innerhalb einer Rechnung zu mischen ist falsch.
Gruppenmittel korrekt zusammenführen
Eine Gruppe mit 10 Personen hat Mittel 68, eine mit 30 Personen Mittel 76. Die Gruppengrößen sind die Gewichte: Die rekonstruierten Summen 680 und 2280 ergeben über 40 Personen ein Mittel von 74. Das einfache Mittel 72 würde die kleine Gruppe überbewerten.
Aus Mittelwerten allein lässt sich jedoch keine gemeinsame Varianz bestimmen. Dafür braucht man zusätzliche Angaben zur Streuung innerhalb der Gruppen.
Grenzen und Plausibilitätsprüfungen
Negative Gewichte kommen in speziellen Modellen vor, können das Ergebnis aber außerhalb des Wertebereichs platzieren und sind dann kein gewöhnlicher Durchschnitt. Eine Gewichtssumme null macht den Ausdruck undefiniert. Fehlende Werte dürfen nicht automatisch als null bewertet werden.
Erkläre die Bedeutung und Normierung der Gewichte und runde erst nach der letzten Division. Bei gleichen Gewichten muss das Resultat dem arithmetischen Mittel entsprechen; weitere Lagemaße vergleicht Mittelwert, Median und Modus.
Ein Gewicht null schließt den zugehörigen Beitrag aus, ohne den ursprünglichen Wert zu löschen. Ein fehlender Wert ist etwas anderes und braucht eine ausdrücklich festgelegte Regel. Bei Noten oder Indizes muss dokumentiert werden, ob ein fehlender Teil ignoriert, die übrigen Gewichte neu normiert oder null vergeben wurde. Diese Varianten können dieselben vorhandenen Werte in deutlich verschiedene Endergebnisse verwandeln. Auch die Gewichtseinheit sollte genannt werden, etwa Prozent, Anzahl oder Zeit.
