Mittelwert, Median und Modus beschreiben die Mitte von Daten auf verschiedene Weise. Der Mittelwert gleicht die Summe aus, der Median nimmt nach dem Sortieren die mittlere Position ein, und der Modus ist der häufigste Wert oder die häufigste Kategorie. Bei symmetrischen Daten können sie gleich sein, beantworten aber unterschiedliche Fragen.
Drei Lagemaße in derselben Datenreihe
Bei 2, 3, 3, 7 und 10 ist die Summe 25 und die Anzahl 5, also das Mittel 5. Der geordnete mittlere Wert ist 3 und derselbe Wert tritt am häufigsten auf: Median und Modus sind 3.
Das Mittel muss kein beobachteter Wert sein. Der Median hängt von der Rangfolge ab, nicht von allen Abständen. Ein Modus kann auch eine Kategorie sein: „blau“ kann die häufigste Farbe sein, obwohl eine durchschnittliche Farbe nicht berechenbar ist.
Ausreißer ziehen am Mittelwert
Vier Beobachtungen bleiben fest; die fünfte kannst du verschieben. Der Mittelwert reagiert auf jede Änderung, weil jeder Wert in die Summe eingeht. Der Median ändert sich erst, wenn sich die mittlere Rangposition ändert.
Teste einen Ausreißer
Verschiebe die letzte Beobachtung und vergleiche Empfindlichkeit des Mittels mit Robustheit des Medians.
Darum wird bei stark rechtsschiefen Einkommen oder Immobilienpreisen häufig der Median angegeben. Er ist nicht immer überlegen: Wenn Summen und additive Wirkungen zählen, bewahrt das arithmetische Mittel wichtige Information.
Gerade Anzahlen besitzen zwei mittlere Werte
Sortiere zuerst. Bei ungerader Anzahl wird der einzelne mittlere Wert genommen. Bei gerader Anzahl ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte, nicht der gesamten Liste.
Für 4, 7, 9 und 12 sind 7 und 9 die Mitte; der Median ist 8 und muss nicht in der Stichprobe vorkommen. Bei ordinalen Kategorien kann das Mitteln von Codes sinnlos sein; dann sollten die zentralen Positionen oder eine fachlich passende Konvention genannt werden.
Der Modus kann mehrfach oder gar nicht vorkommen
Eine eindeutige höchste Häufigkeit ergibt einen Modus, ein Gleichstand mehrere Modi. Treten alle Werte gleich oft auf, wird häufig von keinem Modus gesprochen. Bei gruppierten kontinuierlichen Daten hängt die modale Klasse von den gewählten Intervallgrenzen ab.
Der Modus eignet sich für die meistverkaufte Größe oder häufigste Option. Er zeigt nicht, wie weit andere Beobachtungen entfernt liegen, und bedeutet nicht automatisch absolute Mehrheit.
Ausreißervergleich mit konkreten Zahlen
Bei 10, 11, 12, 13 und 14 sind Mittel und Median 12. Ersetze 14 durch 100: Der Median bleibt 12, das Mittel steigt auf 29,2. Einen Modus gibt es in beiden Listen nicht.
Vor dem Ausschluss des Extremwerts muss geklärt werden, ob er Messfehler, gültiger seltener Fall oder Hinweis auf gemischte Gruppen ist. Ein gutes Ergebnis nennt neben der Mitte auch Stichprobengröße, Streuung und Verteilungsform.
Ein Punktdiagramm, Histogramm oder Boxplot sollte die Wahl des Lagemaßes begleiten. Zwei Datensätze können denselben Mittelwert besitzen und sich trotzdem in Streuung, Schiefe und Ausreißern stark unterscheiden. Für Entscheidungen werden deshalb zusätzlich Stichprobengröße, Minimum, Maximum oder Quartile angegeben. Der Modus hängt bei gerundeten Messwerten außerdem von der Rundungsstufe ab: Eine gröbere Einteilung kann künstlich viele Wiederholungen erzeugen und die häufigste Klasse verschieben.
