Średnia, mediana i dominanta opisują środek danych na różne sposoby. Średnia równoważy sumę, mediana zajmuje środkową pozycję po uporządkowaniu, a dominanta jest najczęstszą wartością lub kategorią. Mogą się zgadzać w rozkładzie symetrycznym, lecz odpowiadają na inne pytania.
Trzy miary w jednym zbiorze
Dla 2, 3, 3, 7 i 10 suma wynosi 25, a liczebność 5, więc średnia to 5. Środkowa uporządkowana wartość to 3 i ona też występuje najczęściej: mediana i dominanta wynoszą 3.
Średnia nie musi występować w danych. Mediana zależy od kolejności, a nie wszystkich odstępów. Dominanta może być kategorią: „niebieski” może być najczęstszym kolorem, chociaż średni kolor nie ma sensu.
Wartość skrajna ciągnie średnią
Cztery obserwacje pozostają stałe, a piątą można przesuwać. Średnia reaguje zawsze, bo każda liczba wchodzi do sumy. Mediana zmienia się dopiero, gdy inna obserwacja zajmie środkową pozycję.
Sprawdź wpływ wartości odstającej
Przesuń ostatnią obserwację i porównaj wrażliwość średniej z odpornością mediany.
Ta odporność tłumaczy stosowanie mediany dochodu lub ceny domu przy asymetrii. Nie czyni mediany zawsze lepszą. Gdy liczą się sumy, średnia arytmetyczna zachowuje ważną informację addytywną.
Parzysta liczebność ma dwie środkowe pozycje
Najpierw uporządkuj dane. Dla nieparzystej liczby wybierz pojedynczą środkową wartość. Dla parzystej oblicz średnią dwóch środkowych, nie całego zbioru.
Dla 4, 7, 9 i 12 środkowe są 7 i 9, więc mediana to 8. Nie musi występować w próbie. Dla kategorii porządkowych średnia kodów może nie mieć sensu; podaj wtedy środkowe pozycje lub właściwą konwencję.
Dominanta może być jedna, wielokrotna albo nieobecna
Jedna najwyższa częstość daje jedną dominantę, remis kilka dominant. Gdy wszystkie wartości występują jednakowo często, zwykle mówi się o braku dominanty. Dla danych ciągłych grupowanych klasa modalna zależy od granic przedziałów.
Dominanta pomaga wskazać najczęstszy rozmiar lub wariant produktu. Nie pokazuje odległości innych obserwacji i nie musi oznaczać bezwzględnej większości.
Liczbowy przykład z obserwacją skrajną
Dla 10, 11, 12, 13 i 14 średnia i mediana wynoszą 12. Zastąp 14 przez 100: mediana pozostaje 12, a średnia rośnie do 29,2. Dominanty nie ma, bo nic się nie powtarza.
Przed usunięciem skrajności sprawdź, czy jest błędem, prawidłowym rzadkim przypadkiem czy sygnałem zmieszanych populacji. Rzetelny opis podaje oprócz środka liczebność, rozproszenie i kształt rozkładu.
Wykres punktowy, histogram lub wykres pudełkowy pomaga wybrać miarę przed rachunkiem. Dwa zbiory mogą mieć tę samą średnią, a zupełnie inną zmienność, asymetrię i obserwacje odstające. Dlatego przy decyzjach obok środka podaje się liczebność, minimum, maksimum albo kwartyle. Dominanta zależy również od dokładności zapisu: grubsze zaokrąglenie może sztucznie utworzyć wiele powtórzeń, a inne granice przedziałów przesuną klasę modalną. Jeżeli dane są wielomodalne, wymień wszystkie istotne szczyty zamiast wybierać jeden dla wygody. Warto też zachować surową listę, aby odbiorca mógł zweryfikować podsumowanie.
Wybór miary powinien wynikać także z pytania. Do planowania łącznego zużycia ważna bywa średnia, do opisania typowego czasu oczekiwania mediana, a do zamówienia najczęstszego rozmiaru dominanta. Podanie wszystkich trzech bez interpretacji nie zastępuje decyzji. Jeśli wyniki są bardzo różne, jest to informacja o kształcie rozkładu, którą warto wyjaśnić zamiast ukrywać.
