La moyenne géométrique est le facteur constant qui conserve le produit de plusieurs valeurs positives. Au lieu d'additionner puis de partager un total, elle multiplie les valeurs et prend la racine correspondante. Elle convient donc aux rapports, variations proportionnelles, croissances composées et facteurs d'échelle.
Conserver un produit n'est pas équilibrer une somme
Pour deux nombres positifs (a) et (b), la moyenne géométrique est le côté d'un carré ayant la même aire qu'un rectangle de côtés (a) et (b). La moyenne arithmétique donne un carré de même périmètre. Les deux questions conservent des grandeurs différentes.
Modifiez les valeurs. La moyenne arithmétique reste supérieure ou égale à la géométrique, avec égalité seulement si les deux valeurs sont identiques.
Comparez deux moyennes
Les deux moyennes coïncident uniquement pour des valeurs égales.
Exemple exact avec trois facteurs
Pour 2, 8 et 32, le produit vaut 512. Trois facteurs imposent une racine cubique, soit 8. Remplacer chaque facteur par 8 conserve bien le produit : 8 fois 8 fois 8 vaut aussi 512.
La moyenne arithmétique des mêmes nombres vaut 14 et conserve leur somme. Le choix dépend du modèle : addition des contributions ou multiplication des facteurs.
Une croissance composée se traite avec des facteurs
Une hausse de 20% puis une baisse de 10% correspondent aux facteurs 1,20 et 0,90. Leur produit vaut 1,08. Sa racine carrée donne le facteur périodique constant ; soustrayez un seulement à la fin.
Le taux équivalent est environ 3,92% par période. La moyenne arithmétique des taux serait 5%, mais deux hausses de 5% produisent 1,1025 au lieu de 1,08. Les périodes doivent avoir la même durée, sinon des poids temporels sont nécessaires.
Zéro et nombres négatifs limitent le calcul
Dans la définition statistique réelle habituelle, toutes les entrées sont positives. Un zéro annule le produit et l'interprétation logarithmique. Des valeurs négatives peuvent rendre une racine paire non réelle. Prendre les valeurs absolues sans justification change le problème.
Pour des valeurs positives, la moyenne géométrique ne dépasse jamais l'arithmétique. Sur une longue liste, le produit direct peut dépasser les capacités numériques ; une méthode stable moyenne les logarithmes puis exponentie, tout en exigeant la positivité.
Applications compatibles avec la multiplication
Utilisez-la pour des rendements composés sur des périodes égales, des changements d'échelle successifs et des rapports normalisés. Préférez l'arithmétique lorsque les contributions s'ajoutent. Une perte de 100% crée un facteur nul qu'aucun gain fini ultérieur ne peut compenser.
Pour vérifier, élevez la moyenne au nombre de facteurs et comparez avec le produit initial. Un faible écart peut provenir de l'arrondi. Le résultat doit aussi rester entre la plus petite et la plus grande valeur positive. S'il sort de cet intervalle, contrôlez l'indice de la racine, le produit et la conversion des taux en facteurs. Pour de longues séries, conservez assez de précision dans les logarithmes.
