La media geometrica è il fattore costante che conserva il prodotto di più valori positivi. Invece di sommare e distribuire un totale, moltiplica i valori ed estrae la radice corrispondente. È quindi adatta a rapporti, variazioni proporzionali, crescita composta e fattori di scala.
Conservare un prodotto è una domanda diversa
Per due numeri positivi (a) e (b), la media geometrica è il lato di un quadrato con la stessa area di un rettangolo di lati (a) e (b). La media aritmetica fornisce invece un quadrato con lo stesso perimetro. Le due medie conservano grandezze diverse.
Modifica i valori. La media aritmetica resta maggiore o uguale a quella geometrica e coincidono solo quando gli input sono uguali.
Confronta due medie
Le medie coincidono soltanto quando i valori sono uguali.
Esempio esatto con tre fattori
Per 2, 8 e 32, il prodotto è 512. Poiché i fattori sono tre, si estrae la radice cubica e si ottiene 8. Sostituire tutti i fattori con 8 conserva infatti il prodotto.
La media aritmetica degli stessi numeri è 14 e conserva la somma. La scelta dipende dal modello: contributi additivi oppure fattori moltiplicativi.
La crescita composta usa fattori, non tassi firmati
Un aumento del 20% seguito da una diminuzione del 10% corrisponde ai fattori 1,20 e 0,90. Il loro prodotto è 1,08; la radice quadrata fornisce il fattore periodico equivalente. Sottrai uno solo alla fine.
Il tasso equivalente è circa 3,92% per periodo. La media aritmetica dei tassi sarebbe 5%, ma applicarla due volte dà 1,1025 invece di 1,08. I periodi devono avere uguale durata; altrimenti servono pesi temporali.
Zero e valori negativi restringono il dominio
Nella definizione statistica reale usuale, tutti gli input devono essere positivi. Lo zero annulla il prodotto e l'interpretazione logaritmica. Numeri negativi possono rendere non reale una radice pari. Usare i valori assoluti senza motivo cambia il significato.
Per valori positivi, la media geometrica non supera mai l'aritmetica. Su liste lunghe, il prodotto diretto può causare overflow o underflow; è più stabile mediare i logaritmi ed esponenziare, mantenendo però la positività.
Applicazioni coerenti con il modello
Usala per rendimenti composti su periodi uguali, cambi di scala successivi e rapporti normalizzati. Usa la media aritmetica quando i contributi si sommano. Una perdita del 100% crea fattore zero e nessun guadagno finito successivo può compensarla.
Per verificare, eleva la media al numero dei fattori e confronta con il prodotto originale. Un piccolo scarto può dipendere dall'arrotondamento. Il risultato deve inoltre restare fra il minimo e il massimo valore positivo. Se esce dall'intervallo, controlla l'indice della radice, il prodotto e la conversione dei tassi in fattori. Nelle serie lunghe conserva sufficiente precisione nei logaritmi.
