Średnia geometryczna jest stałym czynnikiem, który zachowuje iloczyn kilku dodatnich wartości. Zamiast sumować i dzielić sumę, mnoży liczby i wyciąga odpowiedni pierwiastek. Dlatego opisuje proporcje, zmiany względne, wzrost złożony i kolejne skalowania.
Zachowanie iloczynu odpowiada na inne pytanie
Dla dodatnich (a) i (b) średnia geometryczna jest bokiem kwadratu o takim samym polu jak prostokąt o bokach (a) i (b). Średnia arytmetyczna daje bok kwadratu o takim samym obwodzie. Obie miary zachowują inne wielkości.
Zmieniaj wartości. Średnia arytmetyczna jest zawsze co najmniej tak duża jak geometryczna, a równość zachodzi tylko dla równych danych.
Porównaj dwa rodzaje średniej
Obie średnie są równe tylko dla jednakowych wartości.
Dokładny przykład z trzema czynnikami
Dla 2, 8 i 32 iloczyn wynosi 512. Ponieważ są trzy czynniki, wyciąga się pierwiastek trzeciego stopnia i otrzymuje 8. Zastąpienie wszystkich liczb ósemką zachowuje iloczyn.
Średnia arytmetyczna tych samych liczb wynosi 14 i zachowuje sumę. Wybór zależy od tego, czy model opisuje dodawanie, czy mnożenie.
Wzrost złożony wymaga czynników
Wzrost o 20% i późniejszy spadek o 10% odpowiadają czynnikom 1,20 i 0,90. Ich iloczyn to 1,08. Pierwiastek kwadratowy daje stały czynnik okresowy; jeden odejmuje się dopiero na końcu.
Równoważna stopa to około 3,92% na okres. Arytmetyczne 5% zastosowane dwa razy daje 1,1025, a nie 1,08. Okresy muszą mieć tę samą długość; w przeciwnym razie potrzebne są wagi czasowe.
Zera i liczby ujemne ograniczają dziedzinę
W zwykłej rzeczywistej definicji statystycznej wszystkie wartości są dodatnie. Zero zeruje iloczyn i niszczy interpretację logarytmiczną. Liczby ujemne mogą dać nierzeczywisty pierwiastek parzystego stopnia. Użycie modułów bez uzasadnienia zmienia sens danych.
Dla dodatnich liczb średnia geometryczna nie przekracza arytmetycznej. Przy długiej liście bezpośredni iloczyn może przepełnić obliczenia; stabilniej jest uśrednić logarytmy i wykonać potęgowanie, nadal wymagając dodatniości.
Zastosowania zgodne z modelem
Stosuj ją do złożonych stóp zwrotu w równych okresach, kolejnych zmian skali i znormalizowanych ilorazów. Dla wkładów addytywnych wybierz średnią arytmetyczną. Strata 100% daje czynnik zero, którego nie naprawi żaden skończony późniejszy zysk.
Dobra kontrola polega na podniesieniu obliczonej średniej do potęgi równej liczbie czynników i porównaniu z początkowym iloczynem. Mała różnica może wynikać z zaokrąglenia. Wynik musi także leżeć między najmniejszą i największą dodatnią wartością. Jeśli wychodzi poza ten przedział, sprawdź stopień pierwiastka, liczbę czynników i zamianę procentów na mnożniki. Przy bardzo długich szeregach sumuj logarytmy z odpowiednią precyzją; zaokrąglanie każdego logarytmu osobno może się kumulować. W raporcie warto podać zarówno czynnik, jak i odpowiadającą mu stopę.
W szeregu wzrostu sprawdź również, czy okresy mają jednakową długość. Czynnika miesięcznego i rocznego nie wolno traktować z tą samą wagą. Najpierw sprowadź oba do wspólnej podstawy czasu. Dopiero wtedy jedna średnia geometryczna opisuje porównywalny efekt na okres. Jeśli dane obejmują opłaty lub wypłaty w trakcie okresu, sam iloczyn stóp może nie odtwarzać przepływów i trzeba rozszerzyć model.
