Os números racionais formam o conjunto dos números racionais identificado pelo símbolo Q; este conjunto é formado pelos fracionários que podem ser reduzidos à forma a/b, em que a ∈ Z, b ∈ Z* e b ≠ 0.
Q = {x = a/b | a ∈ Z e b ∈ Z*}
Veja que a pode ser qualquer número inteiro (Z) e b somente número do conjunto dos inteiros não nulos (Z*).
Exemplos de números racionais:
- 4⁄1 = 4 (números inteiros);
- 3⁄100 = 0,03 (números decimais exatos);
- 5⁄3 = 1,6666… (dízimas periódicas).
A fração a/b, sendo a o numerador e b o denominador, se o MDC de a e b for 1, então temos que a e b são primos entre si, logo a/b é uma fração irredutível.
Exemplo de frações irredutíveis: 1⁄3; 4⁄5; 2⁄7
Subconjuntos importantes dos números racionais
Definiremos agora os conjuntos que são subconjuntos dos números racionais:
- Q+ = conjuntos dos números racionais positivos.
- Q– = conjuntos dos números racionais negativos.
- Q* = conjuntos dos números racionais não nulos.
- Q*+ = conjuntos dos números racionais positivos e não nulos.
- Q*– = conjuntos dos números racionais negativos e não nulos.
O conjunto dos números inteiros também é um subconjunto do conjunto dos números racionais, pois todo número inteiro pode ser representador como uma fração com denominador 1.
Exemplo:
- 6 ∈ Q, pois 6 = 6⁄1
- 3 ∈ Q, pois 3 = 3⁄1
Números decimais
Todo número racional a/b, com b ≠ 0, podemos representá-lo como um número decimal. Para transformar um número racional para um decimal, dividimos o número inteiro a pelo inteiro b. Nessa transformação dois casos podem ocorrer:
- O número decimal ter uma quantidade finita e exata de algarismos;
- Exemplo: 5⁄1 = 5; 1⁄2 = 0,5; 1⁄10 = 0,1
- O número decimal ter uma quantidade infinita de algarismos e formar uma dízima periódica.
- Exemplo: 2⁄3 = 0,6666…; 5⁄3 = 1,6666…
Um número decimal também pode ser convertido para um número racional na forma de fração. Veja algumas formas de fazer essa conversão:
- Quando o número for uma decimal exata, o numerador é o número sem vírgula e o denominador é o 1 seguido da quantidade de números zeros conforme a quantidade de números nas casas decimais.
Exemplo:
- 0,5 = 5⁄10; 5 é o número sem a vírgula e 1 no denominador com a quantidade de zero definido pela quantidade de números após a vírgula, assim 10.
- 6,231 = 6231⁄1000; da mesma forma número sem a vírgula no numerador e no denominador 1 mais a quantidade de números após a vírgula, logo 1000.
- 0,5 = 5⁄10; 5 é o número sem a vírgula e 1 no denominador com a quantidade de zero definido pela quantidade de números após a vírgula, assim 10.
- Quando o número decimal for uma dízima periódica devemos procurar a sua fração geratriz.
- Exemplo 1:
- A fração geratriz para 0,333…
x = 0,333…10x = 3,333…
Assim, 10x – x = 3 ⇒ x = 3⁄9
No exemplo tivemos x = 0,333…, depois multiplicamos os dois lados por 10. Por fim, subtraímos 10x – x e 0,333… por 3,333…; encontramos 9x = 3 ⇒ x = 3⁄9.
Este exemplo também pode ser resolvido assim: no numerador coloca o aquilo que se repete (período), no denominador coloca o número 9 conforme a quantidade de algarismos que se repetem após a vírgula. Veja: 0,333… ⇒ 3⁄9; outro exemplo: 0,545454… ⇒ 54⁄99
- A fração geratriz para 0,333…
- Exemplo 2:
- 0,521111…
Para encontrar a fração para este exemplo, juntamos a parte do período que não se repete com o período (521) e subtrai-se da parte que não se repete (52). No denominador colocamos um 9 para cada algarismo que forma o período e zero (0) para cada número que não faz parte do período. Veja:
0,521111… ⇒ (521 – 52)/900 = 469⁄900
- 3,52222…
3,52222… ⇒ (352 – 35)/90 = 317⁄90
- 0,521111…
- Exemplo 1:
Exercícios propostos
Veja os exercícios no link abaixo:
Bons estudos!
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