Tallmengder: naturlige tall, heltall, rasjonale tall og intervaller

Skrevet av Jean Carlos Novaes

Tallmengder samler tall med felles egenskaper. Naturlige tall brukes til telling; heltall omfatter også negative tall uten brøkdel. Rasjonale tall er forhold mellom heltall. Irrasjonale reelle tall kan ikke skrives slik. Rasjonale og irrasjonale tall utgjør til sammen de reelle tallene vi behandler her.

Slik ligger tallmengdene inni hverandre

Alle naturlige tall er heltall, alle heltall er rasjonale, og alle rasjonale tall er reelle. De irrasjonale tallene er den delen av de reelle tallene som ligger utenfor de rasjonale.

N⊂Z⊂Q⊂R
R=Q∪(R∖Q)
Innenfor de reelle tallene ligger heltall og naturlige tall i det rasjonale området. Det atskilte området viser irrasjonale tall.
Innenfor de reelle tallene ligger heltall og naturlige tall i det rasjonale området. Det atskilte området viser irrasjonale tall.

Null og delmengder av heltall

Her inkluderer vi null blant de naturlige tallene. Noen bøker begynner med én, så oppgi konvensjonen. Heltallene fortsetter i begge retninger uten et første eller siste tall. Partall, oddetall og primtall danner passende delmengder; 1 er ikke et primtall.

N={0,1,2,3,…}
Z={…,−2,−1,0,1,2,…}
0,5=12
0,33…=13

Symboler for positive delmengder brukes ikke alltid likt når null er involvert. Vilkårene større enn null og større enn eller lik null er tydeligere. Fjerner man mengden som bare inneholder null, står de tallene som er forskjellige fra null igjen.

Z∖{0}
{x∈Z|x≥0}
{x∈Z|x>0}
{x∈Z|x≤0}

Verdien avgjør, ikke bare skrivemåten

Et rasjonalt tall kan skrives med heltall i telleren og en heltallsnevner forskjellig fra null. Desimalutviklingen avsluttes eller blir periodisk. For irrasjonale tall skjer ingen av delene; noen få desimaler fulgt av prikker beviser ikke irrasjonalitet.

−3=−31∈Q
9=3∈N
2∉Q
π∉Q

−3 er heltall, rasjonalt og reelt. Kvadratroten av 9 er naturlig fordi verdien er 3, mens kvadratroten av 2 er irrasjonal. Et rottegn bestemmer altså ikke tallmengden alene.

Åpne og lukkede intervallgrenser

Her tar hakeparenteser med en endelig grense, mens runde parenteser utelater den. Utadvendte hakeparenteser brukes også for åpne grenser. Ulikhetene nedenfor viser betydningen uten tvil. Uendelige grenser er åpne fordi uendelig ikke er et reelt tall i intervallet.

[a,b]:a≤x≤b
(a,b):a<x<b
[a,b):a≤x<b
(a,b]:a<x≤b

Eksempel: heltall fra −2 til mindre enn 3

Intervallet inneholder alle reelle tall mellom grensene. Snittet med heltallene gir bare de fem viste verdiene. −2 er inkludert, men 3 er ikke det.

S=[−2,3)∩Z
S={−2,−1,0,1,2}

Se også mengdeoperasjoner og delelighetsregler.

Referanser