Gli insiemi numerici raggruppano numeri con proprietà comuni. I naturali servono a contare; gli interi aggiungono i negativi senza parte frazionaria. I razionali sono rapporti fra interi. Gli irrazionali reali non ammettono tale rappresentazione; insieme formano i reali qui considerati.
Come si includono gli insiemi
Ogni naturale è intero, ogni intero razionale e ogni razionale reale. Gli irrazionali sono i reali esterni ai razionali, non un loro sottoinsieme.
Zero e sottoinsiemi degli interi
Qui zero appartiene ai naturali; alcuni corsi iniziano da uno, quindi occorre dichiarare la convenzione. Gli interi proseguono in entrambe le direzioni. Pari, dispari e primi sono opportuni sottoinsiemi; 1 non è primo.
I simboli per sottoinsiemi «positivi» possono differire sull’inclusione di zero. Condizioni come maggiore di zero o maggiore o uguale a zero evitano dubbi. Togliere il singoletto zero dà gli elementi non nulli.
Conta il valore, non soltanto la scrittura
Un razionale è un rapporto di interi con denominatore non nullo. Il suo decimale termina o diventa periodico. Un irrazionale non termina né diventa periodico: poche cifre seguite da puntini non lo dimostrano.
−3 è intero, razionale e reale. La radice di 9 è naturale perché vale 3; la radice di 2 è irrazionale. Il solo radicale non classifica il valore.
Estremi inclusi ed esclusi
Le parentesi quadre includono un estremo finito, le tonde lo escludono. Le disuguaglianze chiariscono tutti i casi. L’infinito resta aperto perché non è un numero reale contenuto nell’intervallo.
Esempio: interi da −2 fino a 3 escluso
L’intervallo contiene tutti i reali entro i limiti; l’intersezione con gli interi conserva solo i cinque valori elencati.
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