Getallenverzamelingen: natuurlijk, geheel, rationaal en intervallen

Geschreven door Jean Carlos Novaes

Getallenverzamelingen groeperen gemeenschappelijke eigenschappen. Natuurlijke getallen dienen voor tellen; gehele getallen voegen negatieve getallen zonder breukdeel toe. Rationale getallen zijn verhoudingen van gehele getallen. Irrationale reële getallen hebben zo’n voorstelling niet. Samen vormen ze de hier besproken reële getallen.

Welke verzameling ligt in welke?

Elk natuurlijk getal is geheel, elk geheel getal rationaal en elk rationaal getal reëel. Irrationale getallen zijn reële getallen buiten de rationale verzameling, niet daarbinnen.

N⊂Z⊂Q⊂R
R=Q∪(R∖Q)
Binnen de reële getallen liggen natuurlijke en gehele getallen in het rationale gebied. Het aparte gebied toont niet-rationale reële getallen.
Binnen de reële getallen liggen natuurlijke en gehele getallen in het rationale gebied. Het aparte gebied toont niet-rationale reële getallen.

Nul en deelverzamelingen van gehele getallen

Hier hoort nul bij de natuurlijke getallen. Sommige boeken beginnen bij één; vermeld daarom de afspraak. Gehele getallen lopen in beide richtingen door. Even, oneven en priemgetallen vormen passende deelverzamelingen; 1 is niet priem.

N={0,1,2,3,…}
Z={…,−2,−1,0,1,2,…}
0,5=12
0,33…=13

Notaties voor ‘positieve’ deelverzamelingen verschillen rond nul. Groter dan nul of groter dan of gelijk aan nul is duidelijker. Het singleton met nul weghalen geeft de niet-nulgetallen.

Z∖{0}
{x∈Z|x≥0}
{x∈Z|x>0}
{x∈Z|x≤0}

De waarde telt, niet alleen de schrijfwijze

Een rationaal getal is een verhouding van gehele getallen met niet-nulnoemer. De decimale schrijfwijze stopt of wordt periodiek. Bij een irrationaal getal gebeurt geen van beide; enkele cijfers met puntjes bewijzen dat niet.

−3=−31∈Q
9=3∈N
2∉Q
π∉Q

−3 is geheel, rationaal en reëel. De wortel uit 9 is natuurlijk omdat die 3 is; de wortel uit 2 is irrationaal. Alleen een wortelteken bepaalt de klasse niet.

Open en gesloten grenzen

Vierkante haken nemen een eindige grens op, ronde sluiten haar uit. De ongelijkheden verduidelijken de vier combinaties. Oneindige grenzen blijven open, want oneindig is geen opgenomen reëel getal.

[a,b]:a≤x≤b
(a,b):a<x<b
[a,b):a≤x<b
(a,b]:a<x≤b

Voorbeeld: gehele getallen vanaf −2 tot onder 3

Het interval bevat alle reële getallen tussen zijn grenzen. De doorsnede met de gehele getallen houdt alleen de vijf genoemde waarden over.

S=[−2,3)∩Z
S={−2,−1,0,1,2}

Zie verzamelingsbewerkingen en deelbaarheidsregels.

Bronnen