Les ensembles de nombres regroupent des valeurs partageant des propriétés. Les naturels servent à compter ; les entiers relatifs ajoutent les négatifs sans partie fractionnaire. Les rationnels sont des rapports d’entiers. Les irrationnels réels n’ont pas cette représentation. Ensemble, ils forment les réels étudiés ici.
Comprendre les inclusions
Tout naturel est entier relatif, tout entier relatif rationnel et tout rationnel réel. Les irrationnels sont les réels situés hors des rationnels, et non une partie de ceux-ci.
Zéro et sous-ensembles d’entiers
On inclut ici zéro dans les naturels. Certains cours commencent à un : il faut préciser la convention. Les entiers se prolongent dans les deux sens. Pairs, impairs et premiers forment des sous-ensembles appropriés ; 1 n’est pas premier.
Les notations des sous-ensembles « positifs » varient quant au zéro. Une condition strictement positive ou positive ou nulle évite l’ambiguïté. Retirer le singleton zéro donne les éléments non nuls.
Examiner la valeur, pas seulement l’écriture
Un rationnel est un rapport d’entiers à dénominateur non nul. Son développement décimal s’arrête ou devient périodique. Celui d’un irrationnel ne fait ni l’un ni l’autre ; quelques chiffres suivis de points ne suffisent pas à le prouver.
Ainsi −3 est entier, rationnel et réel. La racine de 9 est naturelle car elle vaut 3, contrairement à la racine de 2 qui est irrationnelle. Un radical ne suffit pas à classer la valeur.
Inclure ou exclure les bornes
Les crochets incluent une borne finie ; les parenthèses l’excluent dans la notation adoptée ici. Les inégalités indiquent le sens exact. On rencontre aussi des crochets tournés vers l’extérieur pour les bornes exclues. L’infini reste toujours ouvert.
Exemple : entiers de −2 à 3, sans 3
L’intervalle contient tous les réels satisfaisant ses bornes. L’intersection avec les entiers ne conserve que les cinq valeurs indiquées.
Consultez les opérations sur les ensembles et les critères de divisibilité.
