Un critère de divisibilité vérifie qu’une division entière a un reste nul sans effectuer toute la division. Ici d est positif et le nombre testé est entier positif ou nul. Zéro est divisible par tout entier non nul ; diviser par zéro n’est pas défini.
Derniers chiffres : puissances de deux, cinq et dix
Pour 2, le dernier chiffre doit être pair ; pour 5, égal à 0 ou 5 ; pour 10, à 0. Les autres tests portent sur le nombre formé des k derniers chiffres, y compris les zéros initiaux du bloc. S’il y a moins de chiffres, utilisez le nombre entier. Ce bloc doit être divisible par le diviseur indiqué.
| Diviseur | Nombre de chiffres finaux |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 4 | 2 |
| 5 | 1 |
| 8 | 3 |
| 10 | 1 |
| 16 | 4 |
| 25 | 2 |
| 32 | 5 |
| 50 | 2 |
| 64 | 6 |
| 100 | 2 |
| 1000 | 3 |
3120 passe pour 8 car 120 est divisible par 8. Pour 25, les terminaisons sont 00, 25, 50 ou 75 ; pour 50, seulement 00 ou 50. Le tableau inclut 4, 16, 32, 64, 100 et 1000. Un bloc entièrement nul passe toujours.
Sommes pour 3 et 9, somme alternée pour 11
Pour 3 ou 9, additionnez les chiffres et testez cette somme avec le même diviseur ; vous pouvez recommencer. Pour 11, soustrayez les sommes des positions alternées. Zéro ou un multiple positif ou négatif de 11 convient.
Combiner des conditions avec des facteurs premiers entre eux
Les paires suivantes sont premières entre elles. Passer les deux tests équivaut à la divisibilité par le produit. Sinon, considérez le plus petit commun multiple : passer pour 2 et 4 ne garantit pas de passer pour 8.
| Diviseur | Deux diviseurs requis |
|---|---|
| 6 | 2 · 3 |
| 12 | 3 · 4 |
| 14 | 2 · 7 |
| 15 | 3 · 5 |
| 24 | 3 · 8 |
| 35 | 5 · 7 |
| 50 | 2 · 25 |
Tout entier passe pour 1. Une seule condition combinée ne suffit pas. Finir par 5 ne prouve pas la divisibilité par 15 si la somme des chiffres ne passe pas pour 3.
Réduire le dernier chiffre pour 7, 13 et les autres
Écrivez le nombre comme dix fois a plus son dernier chiffre b. Remplacez-le par l’expression du tableau et testez le résultat pour le diviseur d’origine. Répétez si utile ; les multiples négatifs conviennent aussi. Arrêtez quand le résultat est reconnaissable.
| Diviseur | Expression à tester |
|---|---|
| 7 | |
| 13 | |
| 17 | |
| 19 | |
| 23 | |
| 29 | |
| 31 | |
| 49 |
Ces réductions couvrent 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31 et 49. Le nombre transformé n’est ni le quotient ni nécessairement le reste initial.
Vérifications : 553 et 10989
Pour 7, doublez le dernier 3 et retranchez-le de 55 : on obtient 49. Le produit vérifie le quotient entier. Pour 11, alternez les sommes des chiffres de 10989 ; leur différence vaut 11.
Ces règles concernent les entiers, contrairement à la division de fractions, qui peut donner un quotient non entier.
