Teilbarkeitsregeln prüfen, ob eine ganzzahlige Division Rest null hat, ohne sie vollständig auszuführen. Hier ist d positiv und die geprüfte Zahl eine nichtnegative ganze Zahl. Null ist durch jede ganze Zahl ungleich null teilbar; Division durch null ist undefiniert.
Endstellen für Zweier-, Fünfer- und Zehnerpotenzen
Für 2 muss die letzte Ziffer gerade sein, für 5 gleich 0 oder 5 und für 10 gleich 0. Weitere Tests verwenden die Zahl aus den letzten k Stellen samt führenden Nullen im Block. Bei weniger Stellen verwende die ganze Zahl. Der Block muss durch den genannten Divisor teilbar sein.
| Divisor | Anzahl der letzten Stellen |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 4 | 2 |
| 5 | 1 |
| 8 | 3 |
| 10 | 1 |
| 16 | 4 |
| 25 | 2 |
| 32 | 5 |
| 50 | 2 |
| 64 | 6 |
| 100 | 2 |
| 1000 | 3 |
3120 besteht den Test für 8, weil 120 durch 8 teilbar ist. Für 25 passen 00, 25, 50 und 75, für 50 nur 00 und 50. Die Tabelle umfasst auch 4, 16, 32, 64, 100 und 1000. Ein reiner Nullblock besteht immer.
Ziffernsummen für 3 und 9, alternierende Summe für 11
Für 3 oder 9 addiere die Ziffern und prüfe die Summe mit demselben Divisor; Wiederholung ist erlaubt. Für 11 subtrahiere die Summen abwechselnder Positionen. Null und positive oder negative Vielfache von 11 bestehen.
Bedingungen mit teilerfremden Faktoren kombinieren
Die folgenden Paare sind teilerfremd. Beide Tests zusammen entsprechen der Teilbarkeit durch ihr Produkt. Andernfalls zählt das kleinste gemeinsame Vielfache: Teilbarkeit durch 2 und 4 beweist nicht Teilbarkeit durch 8.
| Divisor | Beide benötigten Divisoren |
|---|---|
| 6 | 2 · 3 |
| 12 | 3 · 4 |
| 14 | 2 · 7 |
| 15 | 3 · 5 |
| 24 | 3 · 8 |
| 35 | 5 · 7 |
| 50 | 2 · 25 |
Jede ganze Zahl besteht für 1. Bei kombinierten Tests reicht eine Bedingung nicht. Eine Endziffer 5 beweist keine Teilbarkeit durch 15, wenn die Ziffernsumme nicht durch 3 teilbar ist.
Letzte Ziffer für 7, 13 und weitere reduzieren
Schreibe die Zahl als zehnmal a plus letzte Ziffer b. Ersetze sie durch den Tabellenausdruck und prüfe diesen mit dem ursprünglichen Divisor. Wiederhole bei Bedarf; negative Vielfache zählen ebenfalls. Stoppe bei einem leicht erkennbaren Ergebnis.
| Divisor | Zu prüfender Ausdruck |
|---|---|
| 7 | |
| 13 | |
| 17 | |
| 19 | |
| 23 | |
| 29 | |
| 31 | |
| 49 |
Die Reduktionen gelten für 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31 und 49. Die Ersatzahl ist nicht der Quotient und nicht zwingend der ursprüngliche Rest.
Beispiele: 553 und 10989
Für 7 verdopple die letzte 3 und ziehe sie von 55 ab: Es entsteht 49. Das Produkt bestätigt den ganzzahligen Quotienten. Für 11 ergeben die alternierenden Ziffernsummen von 10989 die Differenz 11.
Die Regeln betreffen ganze Zahlen, anders als Bruchdivision, die nichtganzzahlige Ergebnisse liefern kann.
