Cecha podzielności sprawdza resztę zero bez pełnego dzielenia całkowitego. Tutaj d jest dodatnie, a badana liczba całkowita nieujemna. Zero jest podzielne przez każdą niezerową całkowitą; dzielenie przez zero jest nieokreślone.
Końcowe cyfry dla potęg dwójki, piątki i dziesiątki
Dla 2 ostatnia cyfra musi być parzysta, dla 5 równa 0 lub 5, dla 10 równa 0. Inne testy badają liczbę z ostatnich k cyfr, z początkowymi zerami bloku. Przy mniejszej liczbie cyfr użyj całej liczby. Blok musi być podzielny przez wskazany dzielnik.
| Dzielnik | Liczba końcowych cyfr |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 4 | 2 |
| 5 | 1 |
| 8 | 3 |
| 10 | 1 |
| 16 | 4 |
| 25 | 2 |
| 32 | 5 |
| 50 | 2 |
| 64 | 6 |
| 100 | 2 |
| 1000 | 3 |
3120 przechodzi dla 8, bo 120 jest podzielne przez 8. Dla 25 pasują 00, 25, 50 i 75, dla 50 tylko 00 i 50. Tabela obejmuje też 4, 16, 32, 64, 100 i 1000. Blok zer zawsze przechodzi.
Suma cyfr dla 3 i 9, naprzemienna dla 11
Dla 3 lub 9 dodaj cyfry i zbadaj sumę tym samym dzielnikiem; można powtarzać. Dla 11 odejmij sumy cyfr na przemiennych pozycjach. Zero i dodatnie lub ujemne wielokrotności 11 przechodzą.
Łącz warunki dla względnie pierwszych czynników
Pary w tabeli są względnie pierwsze. Oba testy oznaczają podzielność przez ich iloczyn. W przeciwnym razie liczy się najmniejsza wspólna wielokrotność: podzielność przez 2 i 4 nie dowodzi podzielności przez 8.
| Dzielnik | Oba wymagane dzielniki |
|---|---|
| 6 | 2 · 3 |
| 12 | 3 · 4 |
| 14 | 2 · 7 |
| 15 | 3 · 5 |
| 24 | 3 · 8 |
| 35 | 5 · 7 |
| 50 | 2 · 25 |
Każda całkowita przechodzi dla 1. Jeden z połączonych warunków nie wystarcza. Końcówka 5 nie dowodzi podzielności przez 15 bez sumy podzielnej przez 3.
Redukuj ostatnią cyfrę dla 7, 13 i kolejnych
Zapisz liczbę jako dziesięć razy a plus ostatnia cyfra b. Zastąp ją wyrażeniem z tabeli i zbadaj wynik pierwotnym dzielnikiem. Powtarzaj, jeśli pomaga; ujemne wielokrotności też się liczą. Zatrzymaj się przy rozpoznawalnym wyniku.
| Dzielnik | Badane wyrażenie |
|---|---|
| 7 | |
| 13 | |
| 17 | |
| 19 | |
| 23 | |
| 29 | |
| 31 | |
| 49 |
Redukcje dotyczą 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31 i 49. Nowa wartość nie jest ilorazem ani koniecznie pierwotną resztą.
Sprawdzenia: 553 i 10989
Dla 7 podwój ostatnią 3 i odejmij od 55: otrzymasz 49. Iloczyn potwierdza całkowity iloraz. Dla 11 naprzemienne sumy cyfr 10989 dają różnicę 11.
Reguły dotyczą całkowitych, inaczej niż dzielenie ułamków, które może dać niecałkowity wynik.
