Un ensemble est une collection dont les éléments sont déterminés sans ambiguïté. Une liste entre accolades, une propriété ou un diagramme de Venn peuvent le représenter. L’ordre et les répétitions d’une liste ne créent pas de nouveaux éléments.
Appartenance et inclusion ne posent pas la même question
L’appartenance relie un objet à un ensemble. L’inclusion vérifie que tous les éléments d’un ensemble sont dans un autre. Un ensemble peut lui-même être élément d’un ensemble plus grand : les accolades comptent.
Ces trois affirmations sont vraies mais différentes. Le nombre 1 n’est pas le singleton contenant 1. Tout ensemble est inclus dans lui-même et le vide est inclus dans tout ensemble. Un singleton possède un élément ; le vide aucun.
Opérations corrigées sur deux ensembles
L’union de A et B réunit les éléments de l’un ou de l’autre sans répétition. L’intersection garde les communs. La différence garde ceux du premier qui ne sont pas dans le second.
Les différences ne sont pas égales : cette opération n’est pas commutative. Union et intersection sont commutatives et associatives. Le vide laisse une union inchangée et rend une intersection vide.
Le complémentaire dépend de l’univers
Fixez un univers U contenant les objets considérés. Le complémentaire de A contient ceux de U qui ne sont pas dans A. Changer U peut changer ce complémentaire. Les lois de De Morgan utilisent le même univers.
L’ensemble des parties contient des sous-ensembles
Pour S contenant 1, 2 et 3, on compte le vide, trois singletons, trois paires et S entier. Cela fait huit parties : chaque élément peut être inclus ou exclu indépendamment.
Deux ensembles sont égaux lorsque chacun est inclus dans l’autre. L’inclusion stricte exclut l’égalité ; le symbole d’inclusion large évite la confusion. Appliquez-le aux ensembles de nombres et intervalles.
