Un conjunto es una colección cuyos elementos se identifican sin ambigüedad. Puede representarse enumerándolos entre llaves, mediante una propiedad o con un diagrama de Venn. El orden y las repeticiones no crean elementos nuevos.
Pertenencia e inclusión comparan objetos distintos
La pertenencia relaciona un elemento con un conjunto. La inclusión pregunta si todos los elementos de un conjunto están en otro. Un conjunto también puede ser elemento de uno mayor: observa las llaves.
Las tres afirmaciones son válidas, pero distintas. El número 1 y el conjunto unitario de 1 no son el mismo objeto. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, y el vacío de cualquier conjunto. Un unitario tiene un elemento; el vacío ninguno.
Operaciones resueltas con dos conjuntos
Para A y B siguientes, la unión reúne elementos de cualquiera de los dos, sin repetir. La intersección conserva los comunes. La diferencia guarda los del primero que no están en el segundo.
Las diferencias no coinciden: no son conmutativas. Unión e intersección sí son conmutativas y asociativas. El vacío no cambia una unión y hace vacía una intersección.
El complemento depende del universo
Fija un universo U con los objetos considerados. El complemento de A contiene los elementos de U que no están en A. Cambiar U puede cambiarlo. Las leyes de De Morgan deben usar el mismo universo.
El conjunto de partes reúne subconjuntos
Para S con 1, 2 y 3, las partes son el vacío, tres unitarios, tres pares y S completo. Son ocho porque cada elemento puede incluirse o excluirse independientemente.
Dos conjuntos son iguales cuando cada uno es subconjunto del otro. La inclusión estricta excluye igualdad; el símbolo de subconjunto o igual evita ambigüedades. Aplícalo a los conjuntos numéricos e intervalos.
