Zbiory: przynależność, podzbiory, suma, część wspólna i różnica

Autor Jean Carlos Novaes

Zbiór jest kolekcją jednoznacznie określonych elementów. Może być przedstawiony listą w nawiasach klamrowych, własnością lub diagramem Venna. Kolejność i powtórzenia nie tworzą nowych elementów.

Przynależność i zawieranie to inne relacje

Przynależność wiąże obiekt ze zbiorem. Zawieranie sprawdza, czy wszystkie elementy jednego zbioru są w drugim. Zbiór może sam być elementem większego: zwróć uwagę na nawiasy.

1∈{1,2,3}
{1}⊆{1,2,3}
{1}∈{{1},2,3}

Trzy zdania są prawdziwe, lecz znaczą co innego. Liczba 1 nie jest singletonem z 1. Każdy zbiór jest podzbiorem siebie, a pusty każdego zbioru. Singleton ma jeden element, pusty żadnego.

Rozwiązane działania na dwóch zbiorach

Suma A i B zbiera elementy co najmniej jednego z nich bez powtarzania. Część wspólna zachowuje wspólne. Różnica zostawia elementy pierwszego nieobecne w drugim.

A={1,2,3,4}
B={1,4,6}
A∪B={1,2,3,4,6}
A∩B={1,4}
A∖B={2,3}
B∖A={6}
W części wspólnej są 1 i 4. Wyłącznie z lewej 2 i 3, wyłącznie z prawej 6.
W części wspólnej są 1 i 4. Wyłącznie z lewej 2 i 3, wyłącznie z prawej 6.

Różnice nie są równe: różnica zbiorów nie jest przemienna. Suma i przecięcie są przemienne i łączne. Pusty nie zmienia sumy i daje puste przecięcie.

A∪∅=A
A∩∅=∅
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A

Dopełnienie zależy od uniwersum

Ustal uniwersum U obejmujące badane obiekty. Dopełnienie A zawiera elementy U spoza A. Zmiana U może je zmienić. Prawa de Morgana wykorzystują to samo uniwersum.

(A∪B)c=Ac∩Bc
(A∩B)c=Ac∪Bc

Zbiór potęgowy zawiera podzbiory

Dla S z 1, 2 i 3 są to pusty, trzy singletony, trzy pary i całe S. Jest ich osiem, bo każdy element może niezależnie zostać wybrany lub pominięty.

S={1,2,3}
|P(S)|=23=8

Dwa zbiory są równe, gdy każdy jest podzbiorem drugiego. Podzbiór właściwy wyklucza równość; znak podzbioru lub równości unika niejednoznaczności. Zastosuj to do zbiorów liczbowych i przedziałów.

Źródła