Eine Menge ist eine Sammlung eindeutig bestimmbarer Elemente. Aufzählung in geschweiften Klammern, eine beschreibende Eigenschaft oder ein Venn-Diagramm sind mögliche Darstellungen. Reihenfolge und wiederholte Aufzählungen erzeugen keine neuen Elemente.
Element und Teilmenge sind verschiedene Beziehungen
Die Elementbeziehung ordnet ein Objekt einer Menge zu. Eine Teilmengenbeziehung prüft, ob alle Elemente einer Menge auch in einer anderen liegen. Mengen können selbst Elemente größerer Mengen sein: Beachte die Klammern.
Alle drei Aussagen stimmen, bedeuten aber Verschiedenes. Die Zahl 1 ist nicht die einelementige Menge mit 1. Jede Menge ist Teilmenge ihrer selbst; die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Ein Singleton hat ein Element, die leere Menge keines.
Durchgerechnete Operationen mit zwei Mengen
Die Vereinigung von A und B sammelt Elemente aus mindestens einer Menge ohne Doppelzählung. Der Schnitt enthält gemeinsame Elemente. Die Differenz behält Elemente der ersten, die nicht in der zweiten liegen.
Die Differenzen sind verschieden: Mengendifferenz ist nicht kommutativ. Vereinigung und Schnitt sind kommutativ und assoziativ. Die leere Menge ändert eine Vereinigung nicht und macht einen Schnitt leer.
Das Komplement hängt von der Grundmenge ab
Lege eine Grundmenge U fest. Das Komplement von A enthält Elemente aus U außerhalb von A. Eine andere Grundmenge kann ein anderes Komplement ergeben. Die De-Morgan-Regeln verwenden überall dieselbe Grundmenge.
Die Potenzmenge enthält Teilmengen
Für S mit 1, 2 und 3 gibt es die leere Menge, drei Singletons, drei Paare und S selbst. Das sind acht Teilmengen, weil jedes Element unabhängig aufgenommen oder weggelassen wird.
Zwei Mengen sind gleich, wenn jede Teilmenge der anderen ist. Eine echte Teilmenge schließt Gleichheit aus; das Teilmengen-oder-gleich-Zeichen ist eindeutig. Wende das auf Zahlenmengen und Intervalle an.
