Zahlenmengen fassen gemeinsame Eigenschaften zusammen. Natürliche Zahlen dienen dem Zählen; ganze Zahlen ergänzen negative Zahlen ohne Bruchteil. Rationale Zahlen sind Quotienten ganzer Zahlen. Irrationale reelle Zahlen besitzen diese Darstellung nicht. Gemeinsam bilden sie die hier betrachteten reellen Zahlen.
Welche Menge enthält welche?
Jede natürliche Zahl ist ganz, jede ganze rational und jede rationale reell. Irrationale Zahlen liegen in den reellen Zahlen außerhalb der rationalen, nicht innerhalb davon.
Null und Teilmengen der ganzen Zahlen
Hier gehört null zu den natürlichen Zahlen. Manche Lehrbücher beginnen bei eins; die Konvention muss daher ausdrücklich genannt werden. Ganze Zahlen reichen in beide Richtungen unbegrenzt weiter. Gerade, ungerade und Primzahlen bilden geeignete Teilmengen; eins ist keine Primzahl.
Zeichen für „positive“ Teilmengen unterscheiden sich bezüglich null. Bedingungen wie größer null oder größer gleich null vermeiden Verwechslungen. Entfernen der einelementigen Menge null liefert die von null verschiedenen Elemente.
Der Wert entscheidet, nicht das Schriftbild
Eine rationale Zahl ist ein Quotient ganzer Zahlen mit Nenner ungleich null. Ihre Dezimaldarstellung endet oder wird periodisch. Irrationale Dezimaldarstellungen tun beides nicht. Wenige Ziffern mit Auslassungspunkten beweisen das nicht.
−3 ist ganz, rational und reell. Die Wurzel aus 9 ist natürlich, da sie 3 ergibt; die Wurzel aus 2 ist irrational. Ein Wurzelzeichen allein entscheidet die Klasse nicht.
Offene und abgeschlossene Grenzen
Eckige Klammern schließen einen endlichen Randpunkt ein, runde schließen ihn aus. Die Ungleichungen legen jede Kombination fest. Unendliche Grenzen bleiben offen, weil unendlich keine enthaltene reelle Zahl ist.
Beispiel: ganze Zahlen von −2 bis unter 3
Das Intervall enthält alle reellen Zahlen innerhalb seiner Grenzen. Der Schnitt mit den ganzen Zahlen behält nur die fünf aufgeführten Werte.
Siehe Mengenoperationen und Teilbarkeitsregeln.
