Lukujoukot: luonnolliset luvut, kokonaisluvut, rationaaliluvut ja välit

Kirjoittanut Jean Carlos Novaes

Lukujoukot kokoavat luvut yhteisten ominaisuuksien perusteella. Luonnollisia lukuja käytetään laskemiseen; kokonaisluvut sisältävät myös negatiiviset luvut ilman murto-osaa. Rationaaliluvut voidaan esittää kokonaislukujen osamäärinä. Irrationaalisia reaalilukuja ei voida. Rationaali- ja irrationaaliluvut muodostavat yhdessä tässä käsiteltävät reaaliluvut.

Miten lukujoukot sisältyvät toisiinsa?

Jokainen luonnollinen luku on kokonaisluku, jokainen kokonaisluku rationaaliluku ja jokainen rationaaliluku reaaliluku. Irrationaaliluvut ovat rationaalilukujen ulkopuolelle jääviä reaalilukuja.

N⊂Z⊂Q⊂R
R=Q∪(R∖Q)
Reaalilukujen alueella kokonaisluvut ja luonnolliset luvut sisältyvät rationaalilukuihin. Erillinen alue esittää irrationaalilukuja.
Reaalilukujen alueella kokonaisluvut ja luonnolliset luvut sisältyvät rationaalilukuihin. Erillinen alue esittää irrationaalilukuja.

Nolla ja kokonaislukujen osajoukot

Tässä nolla kuuluu luonnollisiin lukuihin. Osa kirjoista aloittaa yhdestä, joten käytäntö kannattaa ilmoittaa. Kokonaisluvut jatkuvat molempiin suuntiin ilman ensimmäistä tai viimeistä lukua. Parilliset luvut, parittomat luvut ja alkuluvut muodostavat sopivia osajoukkoja; 1 ei ole alkuluku.

N={0,1,2,3,…}
Z={…,−2,−1,0,1,2,…}
0,5=12
0,33…=13

Positiivisten osajoukkojen merkintätavat voivat vaihdella nollan kohdalla. Ehdot suurempi kuin nolla ja suurempi tai yhtä suuri kuin nolla ovat yksiselitteisiä. Pelkän nollan sisältävän joukon poistaminen jättää nollasta poikkeavat luvut.

Z∖{0}
{x∈Z|x≥0}
{x∈Z|x>0}
{x∈Z|x≤0}

Arvo ratkaisee, ei pelkkä kirjoitusasu

Rationaaliluvun osoittaja ja nollasta poikkeava nimittäjä voivat olla kokonaislukuja. Sen desimaaliesitys päättyy tai muuttuu jaksolliseksi. Irrationaaliluvulle ei tapahdu kumpaakaan; muutama desimaali ja kolme pistettä eivät todista irrationaalisuutta.

−3=−31∈Q
9=3∈N
2∉Q
π∉Q

−3 on kokonaisluku, rationaaliluku ja reaaliluku. Luvun 9 neliöjuuri on luonnollinen, koska sen arvo on 3. Luvun 2 neliöjuuri on irrationaalinen. Pelkkä juurimerkki ei siis määrää luokkaa.

Avoimet ja suljetut päätepisteet

Hakasulku sisällyttää äärellisen päätepisteen väliin, tavallinen kaarisulku jättää sen pois. Avoimelle päätepisteelle käytetään myös ulospäin osoittavaa hakasulkua. Alla olevat epäyhtälöt selventävät kaikki neljä tapausta. Äärettömyys ei ole väliin kuuluva reaaliluku, joten ääretön pää on avoin.

[a,b]:a≤x≤b
(a,b):a<x<b
[a,b):a≤x<b
(a,b]:a<x≤b

Esimerkki: kokonaisluvut −2:sta alle 3:een

Väli sisältää kaikki reaaliluvut rajojensa välissä. Leikkaus kokonaislukujen kanssa jättää vain viisi esitettyä arvoa. −2 kuuluu mukaan, mutta 3 ei.

S=[−2,3)∩Z
S={−2,−1,0,1,2}

Katso myös joukko-operaatiot ja jaollisuussäännöt.

Lähteet