Un insieme è una collezione di elementi identificabili senza ambiguità. Può essere rappresentato con un elenco tra graffe, una proprietà o un diagramma di Venn. Ordine e ripetizioni non creano nuovi elementi.
Appartenenza e inclusione sono relazioni diverse
L’appartenenza collega un oggetto a un insieme. L’inclusione verifica se tutti gli elementi di un insieme sono in un altro. Un insieme può essere elemento di uno più grande: osserva le graffe.
Le tre affermazioni sono vere, ma diverse. Il numero 1 non è il singoletto contenente 1. Ogni insieme è sottoinsieme di se stesso e il vuoto di qualsiasi insieme. Un singoletto ha un elemento, il vuoto nessuno.
Operazioni svolte con due insiemi
L’unione di A e B raccoglie elementi dell’uno o dell’altro senza ripetizioni. L’intersezione mantiene i comuni. La differenza conserva quelli del primo assenti nel secondo.
Le differenze non coincidono: non sono commutative. Unione e intersezione sono commutative e associative. Il vuoto lascia invariata l’unione e rende vuota l’intersezione.
Il complementare dipende dall’universo
Fissa un universo U che contenga gli oggetti considerati. Il complementare di A comprende quelli di U esterni ad A. Cambiare U può cambiarlo. Le leggi di De Morgan usano lo stesso universo.
L’insieme delle parti raccoglie sottoinsiemi
Per S con 1, 2 e 3 ci sono il vuoto, tre singoletti, tre coppie e S completo. Sono otto perché ciascun elemento può essere incluso o escluso indipendentemente.
Due insiemi sono uguali se ciascuno è sottoinsieme dell’altro. L’inclusione stretta esclude l’uguaglianza; il simbolo di sottoinsieme o uguale evita ambiguità. Applicalo a insiemi numerici e intervalli.
