Toisen asteen yhtälö ja ratkaisukaava

Kirjoittanut Jean Carlos Novaes

Kun kaikki termit on siirretty samalle puolelle ja yhdistetty, toisen asteen yhtälöön jää neliötermi, jonka kerroin ei ole nolla. Vakiomuodossa a on neliötermin kerroin, b ensimmäisen asteen termin kerroin ja c vakiotermi. Puuttuvan termin kerroin on nolla.

ax2+bx+c=0,a≠0
Δ=b2−4ac
x=−b±Δ2a

Diskriminantista näkee reaalijuurten määrän

Diskriminantti on ratkaisukaavan neliöjuuren alla oleva lauseke. Positiivinen diskriminantti antaa kaksi erillistä reaalijuurta. Nollalla molemmat merkkivalinnat antavat saman juuren. Negatiivisella diskriminantilla reaalijuuria ei ole. Paraabeli vastaavasti leikkaa vaaka-akselin kahdesti, sivuaa sitä kerran tai jää kokonaan sen toiselle puolelle.

Sijoita kertoimet etumerkkeineen

Esimerkissä a on 2, b on −3 ja c on −1. Sulje −3 sulkuihin ennen neliöön korottamista. Diskriminantti on 17, joten neliöjuuri säilyy tarkoissa vastauksissa. Nimittäjällä jaetaan koko osoittaja kummallakin merkkivalinnalla.

2x2−3x−1=0
Δ=(−3)2+8
Δ=9+8=17
x=3±174

Juurten summa on 1,5 ja tulo −0,5. Samat luvut saadaan vertaamalla kertoimia tekijöihin jaetun muodon kertoimiin.

Puuttuva termi voi lyhentää laskua

Jos vakiotermi puuttuu, ota x yhteiseksi tekijäksi ja aseta kumpikin tekijä vuorollaan nollaksi. Suoraan x:llä jakaminen hävittäisi juuren nolla. Jos ensimmäisen asteen termi puuttuu, ratkaise neliön arvo. Positiivinen arvo antaa kaksi vastakkaismerkkistä reaalijuurta.

x2−5x=0
x(x−5)=0
x=0,x=5
2x2−18=0
x2=9
x=±3

Nollaksi asetetun neliön ainoa ratkaisu on nolla. Reaaliluvun neliö ei voi olla negatiivinen.

Lähteet