Una función asigna una sola salida a cada entrada de su dominio. Dos entradas pueden compartir una salida. Una entrada no puede tener dos salidas distintas. El producto cartesiano de A y B reúne los pares ordenados con primera coordenada en A y segunda en B. Una relación selecciona algunos de esos pares. Define una función de A en B si cada elemento de A aparece exactamente una vez como primera coordenada.
El recorrido puede ser menor que el codominio
Toma como dominio −2, 0 y 2, y como codominio 0, 1 y 4. Al cuadrar las entradas obtienes 4, 0 y 4. El recorrido solo contiene 0 y 4. El valor 1 pertenece al codominio, pero no se alcanza. Por eso la función no es sobreyectiva. Tampoco es inyectiva, pues dos entradas tienen salida 4.
La prueba vertical y la horizontal responden a preguntas distintas
Al representar los tres pares, una recta vertical encuentra como máximo un punto. Esto confirma que la relación representa una función. La recta horizontal a altura 4 encuentra dos puntos, lo que descarta la inyectividad. Si se permite cualquier entrada real en la función cuadrado, el recorrido incluye todos los números reales no negativos.
Separa el signo de la monotonía
A la izquierda de cero, la función cuadrado decrece aunque sus salidas sean positivas. A la derecha, crece. Una función constante conserva la misma salida para todas las entradas. La función cuadrado es par porque entradas opuestas dan la misma salida. La función cubo es impar porque entradas opuestas dan salidas opuestas.
Las restricciones dependen de la regla. La raíz cuadrada real requiere un argumento no negativo, el logaritmo requiere uno positivo y un polinomio admite todos los reales salvo que se especifique un dominio más estrecho.
