Eine Funktion ordnet jeder Eingabe in ihrem Definitionsbereich genau eine Ausgabe zu. Mehrere Eingaben dürfen dieselbe Ausgabe haben. Das kartesische Produkt von A und B besteht aus Paaren mit erstem Eintrag in A und zweitem in B. Eine Relation wählt einige Paare aus. Sie ist eine Funktion von A nach B, wenn jedes Element von A genau einmal als erster Eintrag vorkommt.
Die Zielmenge kann mehr Werte enthalten
Sei A die Menge aus −2, 0 und 2 und B die Menge aus 0, 1 und 4. Beim Quadrieren erhältst du 4, 0 und 4. Der Wertebereich enthält nur 0 und 4. Die 1 gehört zur Zielmenge, wird aber nicht erreicht. Die Funktion ist daher nicht surjektiv. Sie ist auch nicht injektiv, weil die Ausgabe 4 zweimal erreicht wird.
Zwei Geradentests beantworten verschiedene Fragen
Zeichnest du die drei Paare ein, trifft jede senkrechte Gerade höchstens einen Punkt. Das passt zur Funktionsdefinition. Eine waagerechte Gerade auf Höhe 4 trifft zwei Punkte und zeigt, dass die Funktion nicht injektiv ist. Für die Quadratfunktion auf allen reellen Zahlen enthält der Wertebereich alle nichtnegativen Zahlen.
Vorzeichen und Monotonie getrennt lesen
Links von null fällt die Quadratfunktion, obwohl ihre Werte positiv sind. Rechts von null steigt sie. Eine konstante Funktion behält ihren Wert bei. Die Quadratfunktion ist gerade, weil Gegenzahlen denselben Wert haben. Die Kubikfunktion ist ungerade, weil Gegenzahlen entgegengesetzte Werte haben.
Für eine reelle Quadratwurzel muss das Argument nichtnegativ sein, für einen Logarithmus positiv. Ein Polynom ist auf den reellen Zahlen definiert, sofern kein engerer Definitionsbereich vorgegeben ist.
