Função: Definição, Domínio, Imagem e os Tipos

Função é uma relação entre dois conjuntos A e B, não vazios, de forma que todo elemento de A tem um elemento correspondente em B e um elemento de A só possui um único correspondente no conjunto B.

Produto Cartesiano

Chamamos de produto cartesiano, o produto A x B, sendo A e B conjuntos não vazios, tendo como resultado um conjunto de pares ordenados (x, y), onde x pertence a A e y pertence a B.

Sendo assim, o produto cartesiano pode ser definido assim:

• A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}

Relação

Uma relação de R de A em B entre dois conjuntos A e B, não vazios, é um subconjunto de A x B.

Exemplo:

Dados os conjuntos A e B:

• A = {1, 2, 3}
• B = {1, 3}

Então:

• A x B = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3)}

Às duas relações de A em B poderiam ser:

• R₁ = {(x, y) ∈ A x B | y = x} = {(1, 1), (3, 3)}
• R₂ = {(x, y) ∈ A x B | y = x + 1} = {(2, 3)}

Definição

Seja dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos função a correspondência f ou relação binário entre os conjuntos A e B, nessa ordem, de forma que qualquer elemento x ∈ A possui um único correspondente y ∈ B, sendo a imagem de x.

Podemos ilustrar a definição anterior através do diagrama de flechas para um melhor entendimento. Então, temos:

Cada elemento do conjunto A está relacionado a um único elemento em B.

Analisando a figura, podemos definir o seguinte:

• O conjunto A é o domínio;
• O conjunto B é o contradomínio;
• Os elementos de B, que estão relacionados a elementos em A é chamado imagem da função.

Funções definidas por fórmulas

É frequentemente encontrado algumas funções definidas por fórmulas.

Exemplo:

Sejam os conjuntos A e B:

• A = {1, 5}
• B = {2, 3, 4, 6}

Seja f a função que associa cada elemento de A acrescido de 1. Dessa forma, sendo x um elemento de A e y um elemento de B, que corresponde a imagem no conjunto B, temos a seguinte expressão:

• y = x + 1
  • Para x = 1 ⇒ y = 1 + 1 ⇒ y = 2
  • Para x = 5 ⇒ y = 5 + 1 ⇒ y = 6
    

Podemos ver melhor no diagrama de flechas abaixo:

A variável x é chamada variável independente, e y, a variável dependente. Portanto, a variável y é dita em função de x, e assim escrevemos y = f(x).

Domínio e Imagem

Sabendo que toda função f de A em B é uma relação binária, isto é, para cada elemento em A existe somente um elemento em B relacionado a ele, então f tem um domínio e uma imagem.

O domínio é o conjunto D, formados pelos elementos x ∈ A, de forma que existe y ∈ B, tal que o par ordenado (x, y) ∈ f.

O conjunto A é o domínio, o conjunto de partida, assim temos que:

• D = A

A imagem de uma função é o conjunto Im formado pelos elementos y ∈ B de forma que existe x ∈ A tal que o par ordenado (x, y) ∈ f.

O conjunto Im é subconjunto do contradomínio B, isto é:

• Im ⊂ B

Veja na imagem abaixo:

• D = A = {1, 5}
• Im = {2, 6}

O domínio D é igual ao conjunto A e o conjunto imagem Im é subconjunto do contradomínio B.

Gráficos de Funções

O gráfico de f: R → R é formado pelo conjunto de todos os pontos (x, y) do plano cartesiano de forma que y = f(x).

Exemplos de gráficos de funções:

Como construir o gráfico?

Para construir o gráfico de uma função, devemos atribuir valores para a variável que representa um valor do domínio da função e com isso encontraremos o valor que representa a imagem para aquele elemento do domínio.

Exemplo:

Seja a função f: A → R, tal que f(x) = 2x – 2. Sendo A = [0, 5], represente esta função no plano cartesiano e desenhe o seu respectivo gráfico.

Resolução:

Para encontrar os pares ordenados (x, y) do plano cartesiano, devemos atribuir os valores do domínio A que estão no intervalo [0, 5]. Assim:

• Para x = 0: 2(0) – 2 = -2
• Para x = 1: 2(1) – 2 = 0
• Para x = 2: 2(2) – 2 = 2
• Para x = 3: 2(3) – 2 = 4
• Para x = 4: 2(4) – 2 = 6
• Para x = 5: 2(5) – 2 = 8

Esses valores formam a seguinte tabela:

Onde:

• x é um valor do domínio da função;
• y é um valor da imagem.

Marcando os valores dos pares (x, y) no plano cartesiano e traçando uma reta que passa pelos pontos formados pelos pares ordenados (x, y), temos o seguinte gráfico:

Reconhecimento do Gráfico de uma Função

Vamos observar os seguintes gráficos e fazer uma discussão a respeito deles:

O gráfico I não representa o gráfico de uma função, pois os elementos do domínio da função no eixo x estão relacionados com mais de um elemento do eixo y.

Como sabemos pela definição, cada elemento do domínio só pode está relacionado a um único elemento do conjunto imagem.

O gráfico II representa o gráfico de uma função, pois para cada elemento em x, existe somente um elemento em y. Isto é, cada elemento do domínio está relacionado a apenas um elemento da imagem.

Domínio e Imagem de uma Função a partir do seu Gráfico

Considere o seguinte gráfico de uma função qualquer:

Pelo gráfico acima, podemos afirmar que a função possui um domínio limitado no intervalo [1, 3], para valores no eixo x (eixo das abcissas). Os valores do intervalo [1, 4], no eixo y (eixo das ordenadas), é a imagem da função.

Dessa forma, temos que:

• Domínio: D = [1, 3]
• Imagem: Im = [1, 4]

Estudo do Sinal

Ao estudar o sinal de uma função conseguimos determinar quando a função assume valores correspondentes em y negativos, nulos ou positivos, para quais valores de x.

Exemplo:

Seja o gráfico de uma função f: R → R:

Pelo gráfico temos que:

• Para x < -2 ou x > 3: os valores de y são positivos;
• Para -2 < x < 3: os valores de y são negativos;
• Para x = -2 ou x = 3: os valores de y são nulos. Também chamadas raízes ou zeros da função.

Função Crescente, Decrescente e Constante

Podemos classificar as funções de acordo com seu gráfico em: crescente, decrescente e constante.

• Crescente: uma função é crescente quando para quaisquer valores x₁ e x₂ do domínio, sendo x₁ < x₂, temos que f(x₁) < f(x₂).

• Isto quer dizer que se os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam.

  • Exemplo:

• Decrescente: uma função é decrescente quando para quaisquer valores x₁ e x₂ do domínio, sendo x₁ < x₂, temos que f(x₂) > f(x₁).

• Isto quer dizer que se os valores de x aumentam, os valores de y diminuem.

  • Exemplo:

• Constante: uma função é constante quando para quaisquer valores x₁ e x₂ do domínio, sendo x₁ < x₂, temos que f(x₁) = f(x₂).

• Isto que dizer que quando os valores de x aumentam, os valores de y permanecem iguais.

  • Exemplo:

Tipos de Funções

Podemos classificar as funções segundo as propriedades específicas que elas possuem. Essas propriedades retratam o comportamento que elas terão em certas condições.

Função Injetora ou Injetiva

Uma função f: A → B é injetora ou injetiva se, e somente se, os elementos distintos em A possuem elementos distintos em B.

Como podemos ver pelo diagrama de flechas que todo elemento de B possui somente uma flecha apontada para ele.

Função Sobrejetora ou Sobrejetiva

Temos que f : A → B é sobrejetora ou sobrejetiva se, e somente se, todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A.

Pelo diagrama de flechas vemos que todos os elementos de B é atingido por pelo menos uma flecha de pelo menos um elemento de A.

Função Bijetora ou Bijetiva

Uma função f : A → B é bijetora ou bijetiva se, e somente se, ela for injetora e sobrejetora. Isto é, todos os elementos de B é imagem de apenas um elemento de A.

Como vemos no diagrama de flechas que todos os elementos de B é imagem de apenas um elemento de A, assim sendo injetora e sobrejetora e, portanto, é bijetora.

Função Composta

Sejam os conjuntos A, B e C, e duas funções f : A → B e g : B → C, chamamos de composta uma função h = gof: A → C, definida por R = gof(x) = g(f(x)).

Exemplo:

• Considere as seguintes funções:
  • f(x) = x² + 2x – 1 e g(x) = 3x + 1. Encontre fog(x).
• Resolução:
  • fog(x) = f(g(x)) = g(x)² + 2g(x) – 1 = (3x + 1)² + 2(3x + 1) – 1 = 9x² + 6x + 1² + 6x + 2 – 1 = 9x² + 12x + 2

Função Inversa

Seja f : A → B, definimos a inversa de f por f^-1: B → A. Ou seja, é a função que leva os elementos da imagem de f aos elementos do domínio de f.

Dessa forma, f : A → B é inversível ⇔ f é bijetora.

Leia mais sobre função inversa.

Função Modular

Temos uma função modular quando os seus números são sempre positivos. O módulo é representado por duas barras verticais.

Exemplo:

• y = |x|
• y = |-(x . y)|
• y = |-x³|
• y = |x²|

Leia mais sobre função modular.

Função Par

Uma função é chamada par quando f(x) = f(-x), ou seja, os elementos opostos do domínio tem imagens iguais.

Exemplo:

• f(x) = x²

• f(2) = f(-2)

Função Ímpar

Uma função é chamada ímpar quando f(x) = -f(-x), ou seja, os elementos opostos do domínio tem imagens opostas.

Exemplo:

• f(x) = x³

• f(1) = -f(-1)

Função Afim ou Polinomial do Primeiro Grau

A função afim é do tipo polinomial do primeiro grau se for definida como:

f : R → R tal que f(x) = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0.

Exemplos:

• y = 2x + 2
• f(x) = x + 1
• y = -4x
• f(x) = 7x – 3

Função Quadrática ou Polinomial do Segundo Grau

A função quadrática é do tipo polinomial do segundo grau se for definida como:

f : R → R tal que f(x) = ax² + bx + c, com a ∈ R, b ∈ R e c ∈ R e a ≠ 0.

Exemplos:

• y = 2x² + 2x + 1
• f(x) = x² – 3x + 3
• y = -4x² -3x + 4
• f(x) = 7x² – 3x – 3

Função Exponencial

Uma função exponencial é definida da seguinte forma:

f : R → R^*₊ tal que f(x) = a^x, com 0 < a ≠ 1.

Exemplos:

• y = 2^x
• f(x) = 4^-x
• f(x) = (¹⁄₂)^x

Exercícios

Veja os exercícios no link a seguir:

• Exercícios de funções