Função Inversa

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A função inversa é uma função que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, dessa forma ela é bijetora.

A função inversa é obtida trocando o domínio pela imagem da função. Assim, a inversa de uma função qualquer modifica o domínio e a imagem, isto é, o domínio vira a imagem na inversa e a imagem vira o domínio.

Índice do Artigo

Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora

  • Injetora: uma função é injetora quando todos os elementos distintos do domínio possuem imagens distintas

Função Injetora ou Injetiva
Função Injetora ou Injetiva
  • Sobrejetora: uma função é sobrejetora quando cada elemento da imagem possuem pelo menos um elemento correspondente no domínio.
Função Sobrejetora ou Sobrejetiva
Função Sobrejetora ou Sobrejetiva
  • Bijetora: uma função é bijetora quando ela é injetora e sobrejetora.

Função Bijetora ou Bijetiva
Função Bijetora ou Bijetiva

Notação para a Função Inversa

Na matemática um função f = A → B tem a inversa definida por f-1: B → A, ou seja, a inversa é obtida trocando o domínio pela imagem e vice-versa.

Exemplo:

Seja A = {1, 2, 3} e B = {2, 4, 5}, veja como é a inversa de uma função:

Notação para a Função Inversa
Notação para a Função Inversa

Então, o domínio de f é a imagem de f-1, e a imagem de f é o domínio de f-1.

Obtendo a Função Inversa de uma Função

Seja f: R → R, função bijetora, e f-1: R → R a inversa da função f.

Então, para determinamos a função inversa de uma função qualquer devemos proceder da seguinte forma:

  • Exemplo 1: f(x) = x – 1
    • f(x) = x – 1
    • y = x – 1
    • x = y + 1
    • y = x – 1
    • f-1(x) = x – 1
  • Exemplo 2: f(x) = 2x + 1
    • f(x) = 2x + 1
    • y = 2x + 1
    • y – 1 = 2x
    • x = (y – 1)/2 (troca x por y e vice-versa)
    • y = (x – 1)/2
    • f-1(x) = (x – 1)/2

Jean Carlos Novaes by