Função Logarítmica

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A função logarítmica é a função do tipo f(x) = logax, em que a é a base do logaritmo da função, a é positivo e a ≠ 1.

O logaritmo é usado para descobrir o valor do expoente de uma base qualquer. Assim, o logaritmo de um número b com base a, é o expoente x, que é potência da base e resulta em b.

Logaritmo
Logaritmo

Para entender o logaritmo é necessário estudar e entender potenciação.

Índice do Artigo

Definição da Função Logarítmica

A função logarítmica é uma função f: R*+ → R, definida como f(x) = logax, em que 0 < a ≠ 1.

Domínio da Função Logarítmica

Como podemos ver pela definição acima, o domínio da função logarítmica está contido no conjunto R*+, conjunto do reais positivos sem o 0 (zero).

O domínio da função logarítmica são os valores que podemos aplicar a variável x. Lembrando que o logarítmico e a base tem que ser positivos, e a base tem que ser diferente de 1.

Exemplo:

Seja f(x) = log22x + 1, determine o domínio da função.

Resolução:

A resolução dessa questão é bem simples, temos apenas que tomar cuidado com a condição de existência do logaritmo, como podemos ver 0 < a ≠ 1. Então, 2x + 1 > 0 ⇒ 2x > -1 ⇒ x > –12

Assim, o domínio dessa função é definido assim:

D = {x ∈ R | x > –12 }

Gráfico da Função Logarítmica

Para entendermos o gráfico da função logaritmica vamos aplicar alguns valores em uma função e esboçar o gráfico para ver o resultado e seu comportamento no plano cartesiano.

Podemos classificar funções logarítmicas em crescente e decrescente de acordo com o seu gráfico.

Função Crescente

Uma função logarítmica com base a > 1 é estritamente crescente e contínua em R*+. Dessa forma, se aplicarmos valores na função f(x) = log2x temos a seguinte tabela:

xf(x) = log2x
14-2
12-1
10
21
42

Com esses valores em mãos vamos construir o gráfico.

Função logarítmica crescente
Função logarítmica crescente

Veja que temos um gráfico crescente e que cresce mais lentamente ao longo do tempo, quando os valores de x aumentam.

Função Decrescente

Uma função logarítmica com base 0 < a < 1 é estritamente decrescente e contínua em R*+. Assim, aplicando valores na função f(x) = log12x, temos a seguinte tabela:

xf(x) = log12x
142
121
10
2-1
4-2

Colocando esses valores no gráfico, temos:

Função logarítmica decrescente
Função logarítmica decrescente

O gráfico é decrescente e quando os valores para x aumentam o gráfico decresce mais lentamente.

Resumindo, podemos afirmar que a função logarítmica é:

  • Injetora e Sobrejetora;
  • Estritamente crescente, para a > 1;
  • Estritamente decrescente, para 0 < a < 1

Sinal do Logaritmo

O sinal do logaritmo pode ser negativo ou positivo, e podemos saber o sinal nas seguintes condições:

  • Se a > 1:
    • logax > 0 ⇔ x > 1
    • logax < 0 ⇔ 0 < x < 1
  • Se 0 < a < 1:
    • logax > 0 ⇔ 0 < x < 1
    • logax < 0 ⇔ x > 1

A função inversa da função logaritmo é a função exponencial.


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