Função Exponencial

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A função exponencial é uma função que um número constante maior que 0 (zero) e diferente de 1 (um), é elevado ao expoente que é uma variável.

A função exponencial não pode ter na base o valor 1 (um) pois assim ela não seria exponencial, e sim, constante. Além do mais, a base não pode ser negativa e nem zero, pois não é possível, nestes casos, definir a função.

A função exponencial cresce muito rápido, por esse motivo frequentemente usamos a expressão: “cresceu exponencialmente”. Assim, é muito difícil calcular funções desses tipos, então precisamos do auxílio de calculadoras.

O valor do expoente equivale a quantas vezes a base é multiplicada.

Exemplo:

  • 2² = 2 . 2 = 4
  • 3³ = 3 . 3 . 3 = 27
  • 56 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 15625

As funções exponenciais usam a mesma ideia, porém a base é fixa e o expoente é variável.

Exemplo:

Seja a função f(x) = 2x, calcule f(2), f(5) e f(10):

  • f(2) = 22 = 4;
  • f(5) = 25 = 32;
  • f(10) = 210 = 1024.

Quanto mais o expoente aumenta, mais difícil o cálculo.

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Definição da Função Exponencial

A função exponencial é a função f : R → R*+, definida como f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1.

Ou seja, a função possui domínio em R e imagem em R*+ que o conjunto dos números reais positivos e sem o zero.

Gráfico da Função Exponencial

Podemos entender o gráfico de uma função exponencial através de uma função e aplicar valores ao expoente dela.

Lembrando que as funções exponenciais podem ser classificadas em crescente e decrescente. Para cada um desse tipo de função, o comportamento do gráfico muda. Vamos analisar com um exemplo a seguir.

Função Exponencial Crescente

Seja a função f(x) = 2x, esboce o gráfico para a função.

Resolução:

Para entender melhor, vamos construir uma tabela com os valores que vamos atribuir a variável x da função.

xf(x) = 2x
-214
-112
01
12
24

A função f(x) = 2x tem base maior que 1 (um), é uma função crescente e contínua em R. Então, temos o seguinte gráfico:

Gráfico da função exponencial
Gráfico da função exponencial crescente

Função Exponencial Decrescente

Seja a função f(x) = (12)x, esboce o gráfico para a função.

Resolução:

Vamos atribuir valores a variável x e ver o comportamento que a função terá. Veja na seguinte tabela os valores:

xf(x) = (12)x
-24
-12
01
112
214

Com esses valores em mãos vamos esboçar o gráfico para a função:

Gráfico da função exponencial decrescente
Gráfico da função exponencial decrescente

A função f(x) = (12)x tem base a com 0 < a < 1 e, portanto, é uma função estritamente decrescente e contínua em R.

Resumindo, podemos afirmar que a função exponencial é:

  • Injetora e Sobrejetora;
  • Estritamente crescente se a > 1;
  • Estritamente decrescente se 0 < a < 1.

Jean Carlos Novaes by