Função composta é a composição de duas funções obtendo como resultado uma outra função. A função composta é a aplicação de um função numa outra função, combinando as variáveis.
Definição
Sejam as funções f: A → B e g: B → C, a composição dessas duas funções, ou seja, a composta de g com f é uma função h: A → C, tal que h(x) = g(f(x)).
Podemos encontrar algumas nomenclaturas para composição de função da seguinte madeira:
- gof: que é a composição de f em em g, ou seja, g(f(x));
- fog: composição de g em f, isto é, f(g(x));
- (F o G)(a): composição de G em F, então F(G(a)).
Exemplo 1:
Sejam as funções f(x) = 2x² + x + 1 e g(x) = 2x – 1. Determine fog(x) e gof(x).
Resolução:
- fog(x)
- Começamos entendendo o que é fog(x);
- fog(x) é o mesmo que f(g(x)), ou seja, vamos aplicar a função g(x) em f(x). Assim,
- fog(x) = f(g(x)) = 2g(x)² + g(x) + 1 = 2(2x – 1)² + (2x – 1) + 1 = 2(4x² – 4x + 1) + 2x – 1 + 1 = 8x² – 8x + 2 + 2x – 1 + 1 = 8x² – 6x + 2
- gof(x)
- gof(x) = g(f(x)) = 2f(x) – 1 = 2(2x² + x + 1) – 1 = 4x² + 2x + 2 – 1 = 4x² + 2x + 1
Como podemos ver, fog ≠ gof, isto que dizer que a composição de funções não é comutativa.
Exemplo 2:
Considere as funções f(x) = 3x³ – 1 e g(x) = x + 2, calcule f(g(5)) e g(f(2)).
Resolução:
Para calcularmos f(g(5)), podemos começar a calcular g(5) primeiro, ou seja, de “dentro para fora” e depois aplicar o resultado em f(x).
Então:
- g(x) = x + 2
- g(5) = 5 + 2
- g(5) = 7
Agora vamos aplicar o resultado acima em f(x), temos que g(5) = 7, então f(g(5)) = f(7). Logo,
- f(x) = 3x³ – 1
- f(7) = 3(7)³ – 1
- f(7) = 1029 – 1
- f(7) = 1028
Agora para calcular g(f(2)), faremos o mesmo procedimento acima.
Assim:
- f(x) = 3x³ – 1
- f(2) = 3(2)³ – 1
- f(2) = 24 – 1
- f(2) = 23
Temos que g(f(2)) = g(23), logo:
- g(x) = x + 2
- g(23) = 23 + 2
- g(23) = 25
Tranquilo, não é? Bons estudos e boa sorte!
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