Trigonometriska funktioner: sinus, cosinus och tangens

Trigonometriska funktioner omvandlar en vinkel till ett tal. På enhetscirkeln har punkten som nås av en riktad vinkel $\theta$ den horisontella koordinaten $\cos \theta$ och den vertikala koordinaten $\sin \theta$. Tangens är kvoten mellan dem när den horisontella koordinaten inte är noll. Det här synsättet samlar kvoter i rätvinkliga trianglar, cirkelrörelse och periodiska grafer i en och samma modell i stället för att behandla dem som fristående formler.

Så ger en vinkel tre funktionsvärden

Börja på den positiva horisontella axeln och vrid moturs för en positiv vinkel eller medurs för en negativ vinkel. Punkten på enhetscirkeln bestämmer cosinus och sinus direkt. Tangens är riktningskoefficienten för radien genom punkten och är därför inte definierad vid udda multiplar av 90°, där radien är lodrät. För en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel ger samma koordinater närliggande katet genom hypotenusan, motstående katet genom hypotenusan och motstående katet genom närliggande katet.

Vinkeln kan anges i grader eller radianer. Ett helt varv är 360° eller $2\pi$ radianer. Inom analys och större delen av den högre matematiken används radianer, eftersom de mäter en vinkel som båglängden dividerad med radien. Oavsett vilken enhet du väljer måste räknaren vara inställd på samma enhet innan du beräknar ett värde.

Utforska sinus, cosinus och tangens

Flytta reglaget för att följa punkten runt enhetscirkeln och jämföra de tre värdena.

Vinkel

Definitionsmängder, värdemängder och upprepade grafer

Sinus och cosinus är definierade för alla reella vinklar och ligger alltid mellan minus ett och ett. Båda upprepas efter $2\pi$. Sinus är en udda funktion, vilket betyder att funktionsvärdet byter tecken när vinkeln byter tecken. Cosinus är en jämn funktion och har därför samma värde för motsatta vinklar. Tangens är definierad för alla reella vinklar utom $\frac{\pi }{2}+k\pi$, kan anta alla reella värden och upprepas efter $\pi$.

De här egenskaperna förklarar grafernas utseende. Sinus skär noll vid heltalsmultiplar av $\pi$. Cosinus når ett efter hela varv och minus ett efter ett halvt varv. Tangens skär noll vid heltalsmultiplar av $\pi$ och närmar sig lodräta asymptoter mitt emellan dem. En asymptot betyder inte att funktionen har ett mycket stort värde i den uteslutna vinkeln. Funktionen saknar helt enkelt ett värde där.

Exakta värden fås från referensvinkel och kvadrant

De välkända värdena för 30°, 45° och 60° kommer från liksidiga och likbenta rätvinkliga trianglar. När du ska beräkna en större eller negativ vinkel börjar du med att hitta en koterminal vinkel mellan 0° och 360°. Bestäm sedan dess referensvinkel, alltså den spetsiga vinkeln mot den horisontella axeln. Referensvinkeln ger absolutbeloppet och kvadranten ger tecknet. Cosinus är negativ på cirkelns vänstra halva, sinus är negativ under den horisontella axeln och tangens är positiv där sinus och cosinus har samma tecken.

Exempel: beräkna de tre funktionerna för 150°

Vinkeln 150° ligger i kvadrant II och har referensvinkeln 30°. Vid 30° är sinus en halv och cosinus kvadratroten ur tre genom två. I kvadrant II är den vertikala koordinaten positiv och den horisontella negativ. Dividera sinus med cosinus för att få tangens och rationalisera sedan nämnaren om svaret ska ges i exakt form.

Resultatet ger också en snabb kontroll: punkten måste uppfylla ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, och ett positivt tal dividerat med ett negativt måste ge en negativ tangens. Om du vill lösa en triangel med ett känt par av en motstående sida och vinkel fortsätter du med sinussatsen.

Så förändras en transformerad graf

I ett uttryck som $y=A\sin \left(B(x-C)\right)+D$ är absolutbeloppet av $A$ amplituden, $\frac{2\pi }{\left|B\right|}$ perioden, $C$ den horisontella förskjutningen och $D$ mittlinjen. För cosinus används samma parametrar. Tangens har ingen amplitud eftersom funktionen är obegränsad. Dess grundperiod blir $\frac{\pi }{\left|B\right|}$. Sådana transformationer kan beskriva tidvatten, växelsignaler och roterande mekanismer, men en periodisk anpassning är meningsfull endast när själva förloppet upprepas.